拉普拉斯变换

核心思路

把“求导”变成“乘法”，从而大幅降低线性微分方程的求解难度。

1. 直观理解

面对的是随时间变化的函数时如果直接在时域里解，往往要处理耦合、非齐次项、初值条件，比较麻烦。

拉普拉斯变换做的事可以粗略理解为：

• 把原函数 $x(t)$ 重新编码成另一个函数 $X(s)$
• 在这个新空间里，微分运算会变得很简单
• 方程解出来后，再通过逆拉普拉斯变换变回 $x(t)$

所以它本质上是一种求解线性常系数初值问题的变换方法。

2. 定义

如果函数 $f(t)$ 在 $t\ge 0$ 上定义，则它的拉普拉斯变换定义为

$$\mathcal{L}f(t)=F(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$

其中：

• $t$是时间变量
• $s$ 是复变量，常写成 $s=\sigma +i\omega$

3. 为什么它适合微分方程

关键公式是：

$$\mathcal{L}{f}^{\prime }(t)=sF(s)-f(0)$$ $$\mathcal{L}{f}^{\prime \prime }(t)=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$$

这就是它最强的地方：

• 一阶导数变成 $sF(s)-f(0)$
• 二阶导数变成 $s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

也就是说，原来“微分”的麻烦，全变成了关于 $F(s)$ 的代数运算，同时初始条件自动带进去。

4. 一个最简单的例子

考虑方程

$$x^{\prime }(t)+x(t)=0,x(0)=1$$

第一步：两边做拉普拉斯变换

设

$$X(s)=\mathcal{L}x(t)$$

则

$$\mathcal{L}{x}^{\prime }(t)+\mathcal{L}x(t)=0$$

变成

$$(sX(s)-x(0))+X(s)=0$$

代入 $x(0)=1$：

$$sX(s)-1+X(s)=0$$ $$(s+1)X(s)=1$$ $$X(s)=\frac{1}{s+1}$$

第二步：做逆拉普拉斯变换

因为

$${\mathcal{L}}^{-1}\{\frac{1}{s+1}\}=e^{-t}$$

所以

$$x(t)=e^{-t}$$

这就是原方程的解。