龙格-库塔

已知微分方程

$$y^{\prime }(t)=f(t,y),y(t_0)=y_0$$

当这个方程很难直接求出解析解时，RK4 可以一步一步近似算出 $y(t)$ 的值。

1. 它在做什么

最简单的欧拉法是：

$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$

也就是用当前点的斜率直接往前走一步。

但欧拉法精度比较低，因为它只看了起点处一个斜率。

RK4 更聪明：它在一步长度 $h$ 内，取 4 次斜率样本，然后加权平均，所以精度高很多。

2. 四阶龙格–库塔公式

对

$$y^{\prime }=f(t,y)$$

从 $(t_n,y_n)$走到 $(t_{n+1},y_{n+1})$，步长为 $h$，计算：

$$k_1=f(t_n,y_n)$$ $$k_2=f\left(t_n+\frac{h}{2},;y_n+\frac{h}{2}{k}_1\right)$$ $$k_3=f\left(t_n+\frac{h}{2},;y_n+\frac{h}{2}{k}_2\right)$$ $$k_4=f\left(t_n+h,;y_n+h{k}_3\right)$$

然后更新：

$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$

同时

$$t_{n+1}=t_n+h$$

可以把 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 理解为这一步区间内对斜率的四次估计：

• $k_1$：起点斜率
• $k_2$：用 $k_1$ 预测到中点后，在中点算一次斜率
• $k_3$：再用 $k_2$ 预测中点，再算一次斜率
• $k_4$：用 $k_3$ 预测终点，在终点算斜率

最后用

$$\frac{1}{6}(1,2,2,1)$$

这个权重平均，得到更好的步进结果。

. 一个简单例子

考虑初值问题：

$$y^{\prime }=y,y(0)=1$$

它的解析解是

$$y=e^t$$

现在用 RK4 从 $t=0$ 算到 $t=0.1$，取 $h=0.1$。

因为 $f(t,y)=y$，所以：

$$k_1=f(0,1)=1$$ $$k_2=f\left(0.05,1+0.05\times 1\right)=1.05$$ $$k_3=f\left(0.05,1+0.05\times 1.05\right)=1.0525$$ $$k_4=f\left(0.1,1+0.1\times 1.0525\right)=1.10525$$

于是

$$y_1=1+\frac{0.1}{6}(1+2\times 1.05+2\times 1.0525+1.10525)$$

所以

$$y_1=1+\frac{0.1}{6}\times 6.31025=1.105170833\cdots$$

事实上，这种方法是对欧拉法（RK1）的一种改进，在适当增加复杂度后获得了更高的精度，并且这种方法也能进一步推广到更高阶，但是RK4是一个复杂度-精确度平衡点。