ARIMA-LSTM 混合时间序列模型

ARIMA-LSTM 是一种时间序列混合模型。核心思想是：

ARIMA 负责捕捉线性、自相关、趋势差分后的统计结构；LSTM 负责捕捉 ARIMA 没有解释掉的非线性残差结构。

最常见的结构是：

$$y_t=L_t+N_t+{\epsilon }_t$$

其中：

$${\hat{y}}_t^{ARIMA}\approx L_t$$

然后计算残差：

$$e_t=y_t-{\hat{y}}_t^{ARIMA}$$

再用 LSTM 去学习残差序列：

$${\hat{e}}_t^{LSTM}=f(e_{t-1},e_{t-2},\dots ,e_{t-k})$$

最终预测为：

$${\hat{y}}_t={\hat{y}}_t^{ARIMA}+{\hat{e}}_t^{LSTM}$$

也就是：

先用 ARIMA 拟合可解释的线性部分，再用 LSTM 修正非线性误差。

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1. ARIMA 的作用

ARIMA 的作用是处理这类结构：

$$y_t=c+{\varphi }_1{y}_{t-1}+\cdots +{\varphi }_p{y}_{t-p}+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}+{\epsilon }_t$$

它适合处理：

• 平稳时间序列；
• 线性自相关；
• 短期惯性；
• 趋势差分后的规律。

例如：

• 销量；
• 价格；
• 流量；
• 金融时间序列中的局部线性成分。

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2. LSTM 的作用

LSTM 的作用是处理 ARIMA 难以处理的部分，例如：

• 非线性波动；
• 复杂周期；
• 突变后的恢复；
• 长期依赖；
• 残差中的隐含模式。

换句话说，LSTM 不直接替代 ARIMA，而是学习 ARIMA 没有解释掉的残差结构。