切比雪夫不等式

定理

如果$f\ge 0$,并且是可积的，则对于$E_{\alpha }=\{x:f(x)>\alpha >0\}$有 $m(E_{\alpha })\le \frac{1}{\alpha }\int f$

这个不等式还有一个推广的形式:

如果$f^p\ge 0$,并且是可积的，则对于$E_{\alpha }=\{x:f(x{)}^p>{\alpha }^p>0\}$有

$m(E_{\alpha })\le \frac{1}{{\alpha }^p}\int f^p$

这个证明是构造式的，他要求我们从一个局部的$E_{\alpha }$的形式推出整体的性质，因此可以分成好集和坏集来考虑，从结论倒推：

${\alpha }^{p}m(E_{\alpha })=\int {\alpha }^p{\chi }_{E_{\alpha }}\le \int |f(x){|}^p$ 即 ${\alpha }^p{\chi }_{E_{\alpha }}\le |f(x{)}^p|$ 那么满足$x\in E_{\alpha }$中时${\chi }_{E_{\alpha }}$取1。

在坏集取0