波浪能装置输出功率最大化模型

1. 问题总结

本题研究的是一种振荡浮子式波浪能发电装置的输出功率优化问题。装置由浮子、振子、中轴和 PTO 系统组成，在波浪作用下，浮子产生垂荡与纵摇运动，振子在浮子带动下发生相对运动，进而通过直线阻尼器和旋转阻尼器做功，实现波浪能向电能的转换。题目要求在给定波浪参数和结构参数的条件下，建立浮子与振子的运动模型，并进一步求解使 PTO 系统平均输出功率最大 的最优阻尼参数。题目本身明确要求：问题 1、2 只考虑垂荡；问题 3、4 同时考虑垂荡与纵摇；优化变量包括直线阻尼系数，以及双自由度情形下的旋转阻尼系数。

从数学本质上看，本题属于受迫振动系统建模 + 常微分方程求解 + 参数优化的综合问题。其核心工作可分为三部分：
第一，基于受力分析建立浮子和振子的动力学方程；
第二，在恒定阻尼或速度相关阻尼条件下求解位移、速度、角位移和角速度；
第三，以平均输出功率为目标函数，在给定参数约束下寻找最优阻尼系数。

2. 每篇论文的创新点、核心方法与结论

2.1 论文 A001：《波浪能装置输出功率优化设计》

A001 的特点在于整体建模思路较为完整，尤其在双自由度问题中对几何量和转动惯量的处理较为细致。论文在垂荡建模中，通过对浮子和振子进行受力分析，建立二元二阶微分方程；在纵摇建模中，则进一步利用平行移轴定理、垂直轴定理及组合体重心公式推导浮子和振子的转动惯量函数，并将垂荡与纵摇耦合起来，建立四元二阶微分方程。

在求解方法上，A001 主要采用改进的四阶龙格–库塔算法对动力学方程进行离散求解，并对功率积分函数进行离散化处理，用梯形面积近似积分值；在参数优化阶段，论文使用了遗传算法搜索最优阻尼系数，而不是依赖简单枚举，因此在多参数优化问题中更具灵活性。对于双自由度工况，论文还分别写出了直线阻尼功率和旋转阻尼功率的离散表达式，再通过遗传搜索求最优参数组合。

其结论是：在垂荡工况下，恒定阻尼时最大平均输出功率为 229.6819 W，最优直线阻尼系数为 37639；变阻尼时最大平均输出功率为 230.0163 W，最优比例系数为 81478，幂指数为 0.3377。在同时考虑垂荡和纵摇时，最大平均输出功率为 316.5807 W，最优直线阻尼系数为 58944，最优旋转阻尼系数为 98227。

2.2 论文 A022：《波浪能装置输出功率最大化模型》

A022 的突出特点不在于建模比其他论文更复杂，而在于它在问题二中做了较强的稳态解析化简。论文在垂荡问题中同样从浮子和振子的受力分析出发建立微分方程，并使用 MATLAB 的 ode45 求解运动状态；但在功率优化部分，它利用“稳态时浮子和振子的运动频率与波浪频率一致”这一性质，推导出相对速度和平均输出功率的解析表达式，从而直接得到最优阻尼系数的解析形式。同时，它又结合 trapz 梯形积分与区间细分遍历，对解析结果进行数值验证。

在双自由度部分，A022 采用了较明显的近似简化。论文明确指出，问题三和问题四建立在“浮子和振子的纵摇为小角度、相对位移为小量”的假设下，并强调通过平动非惯性系的选取来简化力矩分析和方程建立。也就是说，A022 更偏向工程建模中的“合理简化 + 可计算性优先”路线，而不是追求最精细的几何推导。

其结论是：在垂荡工况下，恒定阻尼时最优阻尼系数约为 37193.8119 N·s/m，对应最大功率 229.3339 W；变阻尼时最大功率约为 230.127 W。在双自由度工况下，论文给出的最大输出功率为 322.128 W，并指出最优旋转阻尼系数达到给定搜索区间上限 100000。

2.3 论文 A171：《基于解析和数值方法的波浪能发电装置最大功率求解》

A171 是三篇论文中解析色彩最强的一篇。论文同样从牛顿第二定律和刚体转动定律出发建立垂荡与纵摇的动力学方程，但在求解策略上明显分情形处理：对于恒定阻尼的垂荡问题，采用拉普拉斯变换求解常系数非齐次微分方程组，从而得到位移和速度的解析解；对于非恒定阻尼情形，则改写为一阶方程组并用四阶 Runge–Kutta 法求数值解。

A171 最有辨识度的地方在于，它将问题二中的常阻尼最大功率问题进一步转化为力电比拟问题，借助机械系统与 RLC 电路之间的对应关系，利用阻抗匹配原理求解最大功率点。这种处理方式不只是“换了一种算法”，而是把原本的力学优化问题转写为一个更易分析的等效电路问题，因而在方法上具有明显的跨学科特色。论文自己也明确将“拉普拉斯变换”和“力电比拟法”列为关键词和主要优点。

在双自由度问题中，A171 采用“从整体到局部”的方式分析纵摇，先求系统质心与相对转轴的转动惯量，再结合刚体转动定理与垂荡方程联立求解。最终在问题四中，把总目标函数写成直线阻尼器和旋转阻尼器功率之和，并利用梯形法求出最优阻尼参数。

其结论是：在垂荡工况下，恒定阻尼时最大平均输出功率为 229.334 W，最优阻尼系数约为 37193.8；变阻尼情形下最大平均输出功率为 228.89 W。在同时考虑垂荡和纵摇时，最大平均输出功率为 327.96 W，此时最优直线阻尼系数为 62140 N·s/m，最优旋转阻尼系数为 95541 N·m·s。

3. 三篇论文的异同分析

3.1 不同点

三篇论文的差异主要体现在求解路径、模型简化程度和优化策略上。

第一，A001 更偏向精细建模与数值优化相结合。它在双自由度问题中对转动惯量和几何量的推导较细，并使用遗传算法进行参数搜索，因此适合处理较复杂、难以显式求解的多变量优化问题。

第二，A022 更偏向稳态分析与工程化简化。它的优势在于将问题二部分解析化，并辅以数值遍历验证，使结果更直观；但在问题三和问题四中，它较强地依赖“小角度、小位移”假设，因此模型精细度相对弱一些，更强调计算简洁和实现效率。

第三，A171 则最强调解析方法和跨学科转换。它不仅在常阻尼垂荡问题中用拉普拉斯变换得到解析解，还通过力电比拟与阻抗匹配思想直接求解最大功率点，使模型具有较强的理论解释力。从方法论上看，A171 的特色最鲜明，也最容易在综述中形成辨识度。

4. 针对性改进

4.1 针对 A001 的优化改进

4.1.1 A001 的方法层优化

A001 现有的方法链条是：

建模 → 改进 RK4 时域积分 → 离散平均功率 → 遗传算法寻优。
文中明确写到：先用改进四阶龙格–库塔法求位移和速度，再在 $100\text{s}\sim 180\text{s}$ 区间上离散计算功率，最后用遗传算法搜索阻尼系数；双自由度时同样是先数值积分，再进行遗传寻优。

这个链条最大的问题不是“不能做”，而是外层优化代价太高，内层仿真负担太重。因为遗传算法每评估一个候选参数，都要重新运行一遍 RK4 的全时域仿真。

因此，对 A001 最典型的方法层优化主要有三种。

1. 用“频域稳态求解”替代“每次都做全时域积分”

对于规则波稳态问题，系统最终响应频率与激励频率一致，这意味着很多情形下可以直接在频域求解复振幅，而不必对每个候选阻尼都从头运行一遍 0 到 180 秒的时域积分。你的深度综述也明确把这一点概括为：把“仿真内循环 + 全局搜索”提升为“稳态频域（解析/半解析）”路线。

这属于求解框架优化，不是对物理模型本身的修改。

2. 用“梯度法/代理模型”替代“纯遗传算法”

A001 使用遗传算法，本质上属于黑箱优化。其优点是鲁棒，缺点是计算速度慢。
如果目标函数在阻尼参数附近足够平滑，那么可以考虑使用：

• 局部梯度法；
• 多起点局部优化；
• 代理模型（响应面 / surrogate）；
• 先粗扫再精调。

这类优化不会改变原式

$$\max \overline{P}$$

但会显著降低计算量。A001 当前的方法属于“每个候选点都需要昂贵仿真”的典型黑箱流程。

3. 用“自适应时间步长求解器”替代固定步长 RK4

A001 的 RK4 采用的是固定步长推进。
在方法层面，可以进一步改为：

• ode45 / ode113 这类自适应步长方法；
• 分段刚柔切换求解器；
• 稳态检测后提前截断。

这并不是改变物理模型，而是提升数值求解效率和稳定性。

一句话概括：
A001 最值得做的方法层优化，是把“遗传算法外层 + RK4 内层”的重仿真流程，升级为“频域半解析 + 局部精修”或者“更高效数值求解 + 更轻量优化器”。

4.1.2 A001 原论文的优化对象与原式子

A001 在问题二中，先由垂荡运动模型得到浮子与振子的相对速度，再以 PTO 平均输出功率最大 为目标建立单目标优化模型；在数值实现上，选取系统进入稳定后的时间区间，对连续功率函数进行离散化并近似积分，然后使用遗传算法搜索最优阻尼参数。对于问题四，A001 则在垂荡和纵摇同时存在时，将直线阻尼器与旋转阻尼器的平均输出功率之和作为目标函数，再用遗传算法求最优直线阻尼系数和旋转阻尼系数。

A001 原目标函数（问题二）

$$\underset{C_h}{\max }\overline{P_h}$$

其中

$$\overline{P_h}=\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}{C}_h({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^{2}dt$$

若阻尼系数随相对速度幂次变化，则原式可写为

$$C_h=\eta |{\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{|}^{\alpha }$$

相应目标函数变为

$$\underset{\eta ,\alpha }{\max };\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}\eta |{\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{|}^{\alpha +2}dt$$

A001 原目标函数（问题四）

$$\underset{C_h,C_p}{\max }\overline{P}$$

其中

$$\overline{P}=\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}\left[C_h({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^2+C_p({\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2{)}^2\right]dt$$

这正对应 A001 文中“以平均输出功率最大为目标”“对连续功率函数进行离散化处理”“在直线阻尼和旋转阻尼共同作用下求最大平均输出功率”的做法。

4.1.3 对 A001 的改进写法

改进一：把“时域积分 + 遗传搜索”改成“频域稳态解析 + 数值校验”

针对 A001 问题二原式

$$\underset{C_h}{\max };\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}{C}_h({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^{2}dt$$

可作如下改进：

在规则波激励下，稳态响应与外激励具有相同频率，因此可令

$$x_1(t)=\Re ({\hat{x}}_1{e}^{i\omega t})x_2(t)=\Re ({\hat{x}}_2{e}^{i\omega t})$$

于是相对速度复幅值为

$$\widehat{{\dot{x}}_r}=i\omega ({\hat{x}}_1-{\hat{x}}_2)$$

平均输出功率可直接写成

$$\overline{P_h}=\frac{1}{2}{C}_h{\omega }^2|{\hat{x}}_1-{\hat{x}}_2{|}^2$$

从而把原来的“时域积分目标函数”改写为“频域代数目标函数”

$$\underset{C_h}{\max };\frac{1}{2}{C}_h{\omega }^2|{\hat{x}}_1-{\hat{x}}_2{|}^2$$

这一步的意义在于：
原来 A001 是通过遗传算法在仿真结果上寻找最优点；改进后则先在频域中得到平均功率关于阻尼系数的显式表达，再用数值仿真进行验证。
这样写，方法层级会明显高于单纯“遗传算法寻优”。这个改进方向也与你上传综述中“用频域线性代数替代仿真内循环 + 全局搜索”的建议一致。

改进二：把 A001 问题四中的两个标量阻尼改成“广义阻抗矩阵近似”

A001 问题四原式为

$$\underset{C_h,C_p}{\max }\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}\left[C_h({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^2+C_p({\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2{)}^2\right]dt$$

该式默认平动和转动的 PTO 能量提取彼此独立。可以把它改写为广义形式：

$$\underset{\mathbf{C}}{\max }\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}{\mathbf{v}}_r^{\top }\mathbf{C}{\mathbf{v}}_{r}dt$$

其中

$${\mathbf{v}}_r=\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2\\ {\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2\end{array}\right]\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22}\end{array}\right]$$

A001 原模型相当于只取了对角形式

$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}{C}_h& 0\\ 0& C_p\end{array}\right]$$

改进后允许出现耦合项 $c_{12},c_{21}$，从而可以更好地刻画垂荡–纵摇耦合下的能量提取机制。

4.2 针对 A022 的优化改进

4.2.1 A022 的方法层优化

A022 的方法链条是：

部分解析化简 → ode45 数值积分 → trapz 求平均功率 → 遍历/细分搜索。
尤其在问题四中，它直接对 ${\eta }_i,{\eta }_j$ 做二维网格扫描，循环调用 ode45，再用 trapz 计算平均功率。

这篇论文的最大问题非常明确：
不是不会算，而是搜索方法过于“笨重”。

用“响应面/贝叶斯优化”替代二维穷举

A022 问题四的本质是在二维参数面上求解

$$\underset{{\eta }_i,{\eta }_j}{\max }\overline{P}$$

它当前的做法是进行 $101\times 101$ 网格遍历。
这是最容易优化的方法层环节。

更好的做法包括：

• 先做稀疏采样；
• 拟合响应面；
• 再做局部细化；
• 或直接采用贝叶斯优化 / 模式搜索。

这样不改变目标函数，但能够把 10000 次量级的仿真降到几百次甚至几十次。

把“单自由度解析思路”推广到双自由度

A022 的强项在于它已经在问题二中实现了解析化简。

加入“约束处理策略”

A022 的双自由度最优解把旋转阻尼推到上限，这通常意味着原搜索过程中没有显式纳入更完整的工程约束。
在方法层面，可以把原来的“先算功率再取最大”改为：

• 约束优化；
• 惩罚函数法；
• 可行域筛选 + 局部优化；
• 多目标 Pareto 优化。

这仍然主要属于优化算法层的改进，不一定非要改变原动力学方程。

一句话概括：
A022 最有价值的方法层优化，是把“ode45 + trapz + 网格遍历”升级为“解析引导 + 约束优化 + 高效全局搜索”。

4.2.2 A022 原论文的优化对象与原式子

A022 的核心特征是：在问题二的常阻尼情形下，利用稳态同频假设，直接把 PTO 平均输出功率写成解析表达式，再对阻尼系数求导，从而得到最优阻尼的解析解；在变阻尼情形下，由于解析式难以进一步推出，则改用 trapz 数值积分和遍历搜索。

A022 原目标函数（常阻尼）

$$P_{\mathrm{PTO}}=\frac{1}{2}{\eta }_i{\omega }^2|x_1-x_2{|}^2$$

再由复数响应函数把 $|x_1-x_2{|}^2$ 表示成 ${\eta }_i$ 的函数，对其求导，得到

$${\eta }_{i,\mathrm{best}}=37193.8119\mathrm{N}\cdot s/m$$

对应最大功率约为 $229.3339\mathrm{W}$。对于变阻尼，A022 采用

$${\eta }_i=\eta |{\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{|}^{\alpha }$$

从而把功率表达式写成

$$P_{\mathrm{PTO}}=\frac{1}{2}\eta {\omega }^2|x_1-x_2{|}^{\alpha +2}$$

由于难以继续得到解析解，便使用 trapz 积分和二层遍历求最优 $(\eta ,\alpha )$。

4.2.3 对 A022 的改进写法

改进一：把 A022 的单自由度解析思路推广到双自由度

A022 问题二原式为

$$P_{\mathrm{PTO}}=\frac{1}{2}{\eta }_i{\omega }^2|x_1-x_2{|}^2$$

这已经是频域表达。
那么对于问题四，取广义坐标为

$$\mathbf{q}=\left[\begin{array}{c}x\\ \theta \end{array}\right].$$

则对应的相对速度复幅值可写为

$${\widehat{\dot{\mathbf{q}}}}_r=i\omega \left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_1-{\hat{x}}_2\\ {\hat{\theta }}_1-{\hat{\theta }}_2\end{array}\right].$$

则双自由度 PTO 平均功率可统一写为

$$\overline{P}=\frac{1}{2}{\widehat{\dot{\mathbf{q}}}}_r^{,\ast }\mathbf{C}{\widehat{\dot{\mathbf{q}}}}_r$$

若仍保留 A022 原先的两个标量阻尼假设，则退化为

$$\overline{P}=\frac{1}{2}{C}_h{\omega }^2|{\hat{x}}_1-{\hat{x}}_2{|}^2+\frac{1}{2}{C}_p{\omega }^2|{\hat{\theta }}_1-{\hat{\theta }}_2{|}^2$$

这样改写的意义在于：
A022 原来只在单自由度常阻尼下做出了解析优化；改进后可以把同样的频域思想推广到双自由度，而不必在问题四中完全退回遍历搜索。

改进二：把“无约束最大功率”改成“带约束最大功率”

A022 问题四中出现“最优旋转阻尼达到上限”的现象，本质上说明原优化问题

$$\underset{C_h,C_p}{\max }\overline{P}$$

是一个边界驱动型最优，而不是内部平稳点最优。你可以把原式改写为带约束形式：

$$\underset{C_h,C_p}{\max }\overline{P}$$

subject to

$$|{\theta }_1(t)|\le {\theta }_{\max },|x_1(t)|\le x_{\max },|M_{\mathrm{PTO}}(t)|\le M_{\max }$$

如果想写得更学术一些，还可以进一步改为惩罚型目标：

$$\underset{C_h,C_p}{\max }\left(\overline{P}-{\lambda }_1\underset{t}{\max }|{\theta }_1(t)|-{\lambda }_2\underset{t}{\max }|x_1(t)|-{\lambda }_3\underset{t}{\max }|M_{\mathrm{PTO}}(t)|\right)$$

这样写的好处是：
你可以自然解释为什么 A022 会把最优解推到上限——因为它原本缺少工程约束。这个判断也和你上传的改进综述一致：当最优解碰到参数边界时，通常意味着目标函数中缺少应有的物理约束。

4.3 针对 A171 的优化改进

4.3.1 A171 的方法层优化

A171 的方法链条最为丰富：

常阻尼时用拉普拉斯变换 / 力电比拟；复杂情形下用 ode45、trapz、fmincon、GlobalSearch。
它的附录代码里写得非常清楚：问题二和问题四都显式使用了 fmincon + GlobalSearch + ode45 + trapz；同时也保留了遍历方法作为验证。

A171 的问题不是“方法太弱”，而是方法体系没有完全统一：
前半部分理论色彩很强，后半部分又退回数值黑箱。

把“阻抗匹配思想”系统推广为统一求解框架

因此，最优的方法层升级不是“再换一个优化器”，而是构建统一框架：

• 问题二：标量阻抗匹配；
• 问题四：矩阵阻抗匹配；
• 规则波：频域直接求解；
• 非线性 / 约束情形：再退回时域优化。

这样就形成了一个统一的方法体系，而不是现在这种“前面解析，后面黑箱”的分裂结构。

用“分层优化”替代一次性 GlobalSearch

A171 现在在问题四中的做法，相当于直接把 $k_3,L_3$ 扔给 GlobalSearch。
更高级的写法可以是：

• 第一层：利用阻抗 / 频域分析给出初值区间；
• 第二层：局部优化精修；
• 第三层：时域仿真验证。

这比“直接全局搜索”更有理论支撑，也更符合正式科研方法的写法。

3. 从“静态参数优化”升级为“动态控制优化”

你的深度综述里已经把这一层写得比较清楚：
可以从单个阻尼系数的最优，升级到 MPC / EMPC，甚至 Koopman-EMPC 这种时间窗控制序列优化。

这一步非常关键。因为它不再只是求

$$\underset{k_3,L_3}{\max }\overline{P}$$

而是改为在每个时刻决策

$$u_h(t),u_p(t)$$

使未来一段时间内的总能量最大。

这已经不再是简单的“参数寻优”，而是控制方法层面的升级。

一句话概括：
A171 最好的方法层优化，不是再换一个 MATLAB 优化器，而是把它已有的“阻抗匹配”提升为统一的解析—数值—控制框架。

4.3.2 A171 原论文的优化对象与原式子

A171 的特点是解析导向最强。它在问题二常阻尼下，先建立垂荡动力学方程组

$$(m_1+m_c){\ddot{x}}_1+k_1{x}_1+k_2(x_1-x_2)+k_3({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2)+k_4{\dot{x}}_1-f\cos \omega t=0$$ $$m_2{\ddot{x}}_2-k_2(x_1-x_2)-k_3({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2)=0$$

然后用力电比拟法把它转化为等效电路，通过阻抗匹配求最优阻尼 $k_3$。

在问题四中，A171 把总目标函数直接写成直线阻尼功率和旋转阻尼功率之和：

$$\hat{\gamma },\hat{\delta }=\arg \underset{\gamma ,\delta }{\max }{\int }_{90T}^{100T}[k_3({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^2+l_3({\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2{)}^2]dt$$

其中

$$k_3=\gamma |{\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2|,l_3=\delta |{\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2|$$

并附加了若干位移和结构约束。

4.3.3 对 A171 的改进写法

把标量阻抗匹配推广为矩阵阻抗匹配

A171 问题二的实质是：
原方程组对应某个机械内禀阻抗 $Z_i(\omega )$，PTO 阻抗相当于 $Z_{\mathrm{PTO}}(\omega )$，最优条件是二者匹配。

那么在双自由度下，应把这个标量关系升级为矩阵关系：

$${\mathbf{Z}}_{\mathrm{PTO}}(\omega )={\mathbf{Z}}_i^{\ast }(\omega )$$

如果只考虑被动阻尼，则可取

$${\mathbf{Z}}_{\mathrm{PTO}}(\omega )=\mathbf{C}$$

其中 $\mathbf{C}$ 为半正定阻尼矩阵。于是原来 A171 的问题四优化式

$$\underset{\gamma ,\delta }{\max }\int [k_3({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^2+l_3({\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2{)}^2]dt$$

就可以提升为

$$\underset{\mathbf{C}}{\max }\int {\mathbf{v}}_r^{\top }\mathbf{C}{\mathbf{v}}_{r}dt$$

并把 $\mathbf{C}$ 设计为满足匹配原则的矩阵，而不是事后再用数值工具箱盲目搜索。

这一步的意义在于：
A171 原来已经具有阻抗匹配的理论优势，改进后可以把这一优势从一维问题真正推广到二维耦合问题。

把“静态阻尼系数优化”升级为“动态控制序列优化”

A171 问题四原式中，$\gamma ,\delta$ 仍然是常数参数，因此

$$k_3=\gamma |{\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2|,l_3=\delta |{\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2|$$

本质上仍然是静态参数优化。
可以把它改为时变控制：

$$k_3(t)=u_h(t),l_3(t)=u_p(t)$$

对应的优化问题变为

$$\underset{u_h(t),u_p(t)}{\max }\frac{1}{T_2-T_1}{\int }_{T_1}^{T_2}[u_h(t)({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2{)}^2+u_p(t)({\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2{)}^2]dt$$

subject to 原动力学方程及执行器约束

$$0\le u_h(t)\le u_{h,\max },0\le u_p(t)\le u_{p,\max }$$

若进一步加入预测信息，还可以写成离散的 MPC 形式：

$$\underset{\{u_h(k),u_p(k){\}}_{k=0}^{N-1}}{\max }\sum _{k=0}^{N-1}[u_h(k)\Delta {\dot{x}}_r(k{)}^2+u_p(k)\Delta {\dot{\theta }}_r(k{)}^2]$$

这就是把 A171 从“最优阻尼系数模型”真正升级为“最优能量控制模型”。