从菲尔兹奖看现代数学（4）

拓扑

Jean－Pierre．Serre． 1954 年，Serre 为拓扑学的文章赢得了第一项菲尔兹奖。他是包括了 H．Cartan 和 J．Leray 在内的群星琟灿的法国拓扑学家之一。只是由于战争和年龄的原因，他的同伴们未能获此殊荣。尤其是，作为 Cartan 的学生，Serre 应用了 Leray开创的谱序列的方法，对于拓扑学的经典问题：球面同伦群的计算，做出了根本意义上的推进工作。

要了解 Serre 对于解答此问题的贡献，需要回顾前期的相关工作。 1935年，Witold Hurewicz 用 n 维球面 $S^n$ 到拓扑空间 $M^k$ 映射的同伦等价类的集合，定义了 n 维同伦群，标准记号是 ${\pi }_n\left(M^k\right)$ ．早在1895年，H．Poincare 在他的著名论文＂Analysis Situs＂${}^1$ 中，引进了基本群，也称 Poincare 群．．．这为当代拓扑学奠定了基础。Hurewicz 的定义，则是基本群 ${\pi }_1\left(M^k\right)$ 的 n 维推广。

1931 年，H．Hopf 在他的文章＂三维球面到二维球面的映射＂中，向同伦群一般概念的诞生，迈出了关键性的一步。用现代的记号，他证明了群 ${\pi }_3\left(S^2\right)$ 同构于整数加群。 Hopf 的文章在拓扑学中十分经典，其中的结果和方法在随后的许多年中，影响着拓扑学的发展。诸如 Hopf 不变量，Hopf 丛等新概念，均源出此文．

到了70年代，人们才发现 Dirac 单极可以用 Hopf 丛更为自然地予以表述。颇为意外的是，P．Dirac 的文章也发表于1931年，仅比 Hopf 的文章晚发表数月。物理学和数学的40年的发展，才使得两篇文章的密切关系被发现，这是 F．Dyson 所搜集的＂错过的机遇＂一书中的一个颇有价值的例子。关于 Dirac 单极与 Hopf 丛之间联系的进一步细节。可参见 $[\mathrm{Mo}]$ 。

当 $n>k$ 时，同伦群 ${\pi }_n\left(M^k\right)$ 的非平凡性与同调群 $H_n\left(M^k\right)$ ，上同调群 $H^n\left(M^k\right)$ 的平凡性形成强烈的反差。同调群和上同调群可以用公理法予以定义，这确保了它们的有效可算性。然而，在研究给定流形的同伦群的过程中，该流形的同调及上同调群的知识只能提供很少的帮助。Hurewicz 同构，本质上建立了给定流形的同伦和同调之间仅有的直接联系：

Hurewicz 定理．如果 ${\pi }_i=H_i=0,0<i\le k-1$ ，则 ${\pi }_k(M)=H_k(M)$ ． 因此，二战以前同调和上同调理论的那些深刻结果，包括示性类理论基础的建立，对于同伦群的计算而言，帮助甚微。在此领域，仅有的一个一般性结果是 H．Freudental的纬悬定理．

Freudenthal 定理 如果 $1\le r<2n-1$ ，则群 ${\pi }_r\left(S^n\right)$ 同构于 ${\pi }_{r+1}\left(S^{n+1}\right)$ ，并且纬悬同态将群 ${\pi }_{2n-1}\left(S^n\right)$ 映满 ${\pi }_{2n}\left(S^{n+1}\right)$ ．

Freudenthal 部分成功地描写了同态

的核。尤其是，他证明了 ${\pi }_4\left(S^3\right)=Z_2$ ． Freudenthal 的结果的重要性在于，利用同构 ${\pi }_r\left(S^n\right)\cong {\pi }_{r+1}\left(S^{n+1}\right)\cong {\pi }_{r+k}\left(S^{n+k}\right)$ ，我们很容易观察到，当 $k>r+1$ 时，群 ${\pi }_{r+k}\left(S^{n+k}\right)$ 与 $k$ 无关。令 $k=\infty$ ，我们获得所谓稳定同伦群 ${\pi }_r\left(S^{\infty }\right)$ 。然而，即使是计算 ${\pi }_{r+2}\left(S^r\right)$ 型的同伦群，例如 ${\pi }_5\left(S^3\right)$ ，Freudenthal 的定理也无能为力。因此，计算同伦群的每一个后续步骤，都需要克服巨大困难来获取某种特殊技巧。为了解决此问题所发明的某些方法在其他范围的问题中则表现出超常的威力。这里，首先值得提及的是 Pontryagin 带标架流形的理论。1950年，Pontryagin 研究了 $R^{n+k}$ 中具有 $n$ 个线性无关的法向量场的子流形 $M^k$ ．用现代语言，此种性质称为法丛的可平凡化。具有平凡标架的流形 $M^k$ 则称为 $R^{n+k}$ 中 $n$－标架化子流形。正是由于可平凡化性质，流形 $M^k$ 具有一个微分同胚于 $M^k\times R^n$ 的管状邻域 $N$ ．可以证明，存在一个映射 $g:N\to R^k$ 满足 $g\mid \partial N\to \infty$ 。如果分别将 $R^{n+k},R^n$ 等同于 $S^{n+k},S^n$ 除去一极，则映射 $g$ 可扩张为一个映射 $f:S^{n+k}\to S^n$ ，使得某个非临界点 $s_0\in S^n$ 处的逆象 $f^{-1}\left(s_0\right)$ 恰为 $M^k$ 。

Pontryagin 敏锐地观察到，同伦的映射 $f_1,f_2:S^{n+k}\to S^n$ 对应了带标架子流形的某种等价关系。这种等价，V：A．Rokhlin 命名为内蕴同调，可描述如下。两个流形 $M_1^k,M_2^k\subset R^{n+k}$ 是内蕴同调的，如果存在带标架的流形 $W^{k+1}\subset R^{n+k}\times R$ 使得

1）$M_1\times \{0\}$ 与 $M_2\times \{0\}$ 可分别由 $W^{k+1}$ 和超平面 $x_{n+k+1}=0$ 与 $x_{n+k+1}=1$ 的交痕得到。

2）子流形 $M_1^k$ 和 $M_2^k$ 的法丛恰是上述超平面与 $W$ 的法丛的交痕。 由这种观点出发，Pontryagin 计算了群 ${\pi }_{n+1}\left(S^n\right)$ 和 ${\pi }_{n+2}\left(S^n\right)$ ．Rokhlin，Pontryagin当时的同事，迈出了下一个更为艰难的步骤。他用同一技术计算了群 ${\pi }_{n+3}\left(S^n\right)$ 。沿此途径会遇到的后继障碍在技术上被证实无法克服。但是到了 1954 年，带标架流形理论中的方法，却成为另一个极有前景的新理论的基础，这就是配边理论。

Serre 以前球面同伦群的计算工作堪称一流，各显神通。然而一般性的定理，甚至能够接近一般性定理的方法则完全不存在。Serre在他的发表于 Comptes Rendus 的一系列短文，以及发表在 Annals of Mathematics（1951）更为详细的博士论文中，对于群 ${\pi }_i\left(S^n\right)$的结构，证明了若干一般性的定理。其中最为重要的是

Serre 有限性定理：如果 $n$ 偶，则 1）对于 $i>n$ 且 $i\ne 2n-1$ ，群 ${\pi }_i\left(S^n\right)$ 有限； 2）${\pi }_{2n-1}\left(S^n\right)$ 是 $Z$ 与某个有限群的直和。 如果 $n$ 奇，则对于 $i>n$ ，群 ${\pi }_i\left(S^n\right)$ 有限。 颇为有趣的是，Serre 找到了球面同伦群和与球面相配的所谓回路空间的同调和上同调群之间的联系，并以此做为证明的基础。谱序列的方法能用于计算回路空间的同调和上同调。遵循此途径，Serre 在特定同伦群的计算方面，也取得了进展。他重新证明了 Pontryagin，J．H．C．Whitehead，和 Rokhlin 的结果，计算了群 ${\pi }_{n+1}\left(S^n\right),{\pi }_{n+2}\left(S^n\right)$ 和 ${}^i{\pi }_{n+3}\left(S^n\right)$ 。他进一步得到了 ${\pi }_{n+4}\left(S^n\right)$ 。从未有人利用其他方法获得这一结果．

Serre 的一般构造被成功地应用于计算其他空间的同伦群，特别是对称空间和李群。球面和典型李群同伦群间的密切联系较为直接。正如所知，典型群生成以球面为底空间的纤维丛。例如

Serre 解决了许多与典型李群同伦群计算有关的困难问题。尤其是，在许多重要的情形，他成功地描写了群 ${\pi }_p(G)$ 的主要分量，证明了 ${\pi }_p(G)$ 的主要分量是群 ${\pi }_i\left(S^j\right)$ 主要分量之和。

计算李群的同伦群的问题结果比球面的相应问题容易一些。然而，即使在李群的情形，与某些群 ${\pi }_i(G)$ 的结构相关的特定的问题仍悬而未决。关于李群的稳定同伦群的结构，R．Bott 证明了一个著名定理。该定理断言稳定群 ${\pi }_i(G)$ 具有周期性，例如 ${\pi }_i(U(\infty ))={\pi }_{i+2}(U(\infty ))$ ．

Bott 在他的证明中，绝妙地应用了 Morse 理论。在当代拓扑学中，周期定理赢得了根本的重要性。

尽管 Serre 在 50 年代初的成就与拓扑有关，复空间的理论早已成为他的兴趣之一。他的导师 Cartan，复流形的理论的权威，激发了 Serre 对这一方向的兴趣。自从 30 年代起，Cartan一直在从事这一领域的研究。利用以解析层为系数的上同调的语言，Cousin问题中的 Cartan－Oka 定理最终有了一个有效的表述。Serre 的文章，部分与 Cartan 合作，大大地推进了解析层论。Leray 于1945年给出的层的最初定义，补充了大量与微妙的解析性质相关的概念。Leray 因为引进了两个基本概念，彻底变革了战后数学的面貌，而受人们推崇。令人吃惊的是，Leray 是在战争期间的德国集中营里，形成了他的主要思想。在文献［Di1］中，也提及了这一时期。尤其是，Serre 研究了以全纯函数的层为系数的复空间的上同调。和解析空间的某些上同调类的结构有关的定理在文献中被称为 Kodaire－Serre 对偶定理。对于代数拓扑和几何的后期发展而言，这些结果不可缺少。 Serre 后来转向代数几何和算术，在 p－adic 羘的表示论，模函数及许多方面，都取得了显著成就。此外，他写下了使人赞赏的专著和教材［S1，S2］． 1986 年 Springer－Verlag 出版社出版了 Serre 的三卷本的文集，给予他的工作全面的总结。

Rene Thom． 1958 年的菲尔兹奖之一被授予 Thom，源于同一法国拓扑学派的代表。Thom 的文章构造了配边理论。这一理论的核心问题可简洁地陈述如下：找出一个给定紧致流形 $M^n$ 是某一流形 $W^{k+1}$ 的边界的充分必要条件。Pontryagin 早先发现了必要条件：$M$ 的所有 Stiefel－Whitney 数必须为 0 ．Thom 证明了更为困难的部分，即这一条件也是充分条件。

Thom 的配边理论继承了苏俄数学家 Pontryagin 和 Rokhlin 的工作，并且在他发表的著名论文中，解决了一些十分困难的拓扑问题，随后的获奖者进一步发展了 Thom 的文章中的思想。

为了建立配边理论，Thom 所引进的一些新的拓扑概念，已经进入了当代的拓扑学家们的词典。作为这些概念之一的 Thom 空间，是当代示性类理论的核心。对于具有欧氏度量的 $k$ 维平面丛，均可定义 Thom 空间．如果 $\xi$ 是流形 B 上的一个向量丛， E 是该丛的全空间，并且令 A 为 $E(\xi )$ 中 $\ge 1$ 单位长向量 $\nu$ 构成的子集。将 A 等同于一点得到商空间 $E(\xi )/A$ ．它称为 Thom 空间 $T(\xi ).T(\xi )$ 也可等同于空间 $E(\xi )$ 的一点紧致化．

与空间 $T(\xi )$ 相关的著名应用之一，是 Thom 所证明联系空间 $T(\xi )$ 的同伦群与 k 向量丛的底流形 B 的同调群的一个定理。

Thom 定理．对于 $n<k-1$ ，群 ${\pi }_{n+k}(T)$ 同构于 $H_n(B,Z)$ ． 这个定理以及它的种种推广构成配边理论计算的基础，其中基本的对象是流形的配边群。Thom 指出配边条件是一个等价关系，从而有可能在流形的配边类上引进群的概念，获得配边群 $\Omega$ ．这里群的加法相当于流形的分离和。 $n$ 维流形决定的群通常记为 ${\Omega }_n$ ．它自然产生了分次群 $\Omega ={\Omega }_0+{\Omega }_1+\cdots +{\Omega }_n+\cdots$ ．两个维数分别是 $n,m$ 的流形的直积的运算 $M^n\times N^m$ 产生一个附加运算 ${\Omega }_n\times {\Omega }_m\to {\Omega }_{n+m}$ ，使得 $\Omega$ 成为一个（分次）环。一些显赫的拓扑问题可用环 $\Omega$ 的结构来表述。关于环 $\Omega$ 的结构，Thom 的先驱者 Pontryagin 和 Rokhlin 已经得到了一些结果，只是没有注意到如此一般的构造。值得提及的是，Rokhlin 证明了 ${\Omega }_3$ 平凡，即每个可定向 3 维流形是某个 4 －流形的边界。利用他所发现的空间 $T(\xi )$ 的同伦群与 ${\Omega }_n$ 之间的关系，Thom 描写了群 ${\Omega }_n$ ．结合流形的附加结构，如复流形，Spin 流形等等，配边理论有一些后期发展。每种群的计算都涉及解答一个富有挑战性的拓扑问题。

一些年后，许多得到应用的重要思想，均源起于 Thom。例如，Thom 使用 Morse理论研究复空间的方法，最近被 M．Goresky 和 R．Macpherson 应用于分析带有奇点的流形的上同调。

在 Thom 的主要成就中，最有影响的是他在奇点理论方面的文章．它已演化成为一门独立学科：突变理论。突变理论，较为通俗地说，是从函数的奇点性质出发，研究它们的整体行为。这个理论建筑于 Morse 理论，Whitney 的奇点理论，以及其他诸多数学分支之上。在一个统一构思的框架中，它溶合了不同数学领域的众多优美的结果。无论是基本定理的证明，还是问题的陈述，都源起于 Thom。一些解法影响深远。以下是这一领域的中心议题。

1．给定一个在点 $x_0\in R^m$ 处结构稳定的映射 $f:R^m\to R^n$ ，它的规范型具有何种形式？

2．描写所有的稳定映射 $R^m\to R^n$ ． 两个问题都是要求准确地形成映射类稳定性的概念。此处我们无法深入到细节。读者不妨请教相关文献。最为完整、严谨的数学简述是两卷本的专著［AGV］．我们仅仅指出 Thom 的与问题 1， 2 有关的两个重要结果。

第一个涉及 $n<6$ 时稳定映射 $R^n\to R^n$ 的分类。所有的规范型都被确定。高维时情形颇为复杂。Thom 证明了，如果 $n\ge 9$ ，稳定映射不可能成为所有光滑（可微）映射 $R^n\to R^n$ 类中的一个稠密集。存在映射 $f$（模）的连续不变量。因此在光滑映射类中，不存在稳定映射实质上的分类。然而，对于拓扑等价的映射则有可能进行分类。Thom 的第二个结果是： ＂如果从所有映射的空间中除去一个余维无限的集合，则对于光滑映射 $f:R^m\to R^n$的芽，可以进行拓扑分类＂。

Thom 在 1964 年陈述了上述结果．直至最近，完整的证明才由 V．I．Arnold 的学生 A．N．Varchenko 给出。

在奇点理论的脉络中，数学中相距甚远的分支中的结果之间看来似乎神奇而又偶然的联系有可能得到解释。例如，函数的退化临介点的分类竟然由半单李代数的 Dynkin图决定。

今天，众多数学的导向性人物在奇点理论中从事着多产的研究工作。他们包括了 Arnold 在莫斯科建立的庞大学院，在英国 Warwick 的 E．C．Zeeman 以及他的学生们。突变理论的发展已经远远超出纯数学，甚至物理学的范畴。这一理论的思想正被应用于诸如经济学、社会学等不同的领域。仅次于 Fermat 大定理，突变理论已经成为最受公众关注的数学现象。Thom 在他本人的理论思想的引导下，首先研究了生物系统，稍后语言学。他的著作＂结构稳定性和形态发生学＂（Stabilite Strecturelle et Morphogenese （1972））在专家之间激发了巨大兴趣，并已经被翻译为多种语言．

John Milnor．Milnor 在流形的配边群的计算方面取得了重要了结果，获得了 1962 年度菲尔兹奖。尤其是，他解决了 Thom 遗留的，当 $n\ge 8$ 时群 ${\Omega }_n$ 中的挠子群 ${\Gamma }_k$的阶数的问题。Milnor 以及莫斯科数学家 B．G．Averbukh 彼此独立地证明了子群 ${\Gamma }_k$不包含奇数阶元素。这一结果需要使用到十分有力的拓扑学的专技：Steenrod 运算和 Adams 谱序的。后来 C．T．C．Wall 利用 Milnor 和 Averbukh 的结果，成功地给出了群 ${\Omega }_n$ 的完整描述。Milnor 和 S．P．Novikov 彼此独立地得到配边理论的另一结果，复配边群，即以酉群为结构群的配边流形的环，的计算。复配边适用的对象是具有近复结构的流形。

Milnor 最为辉煌的成就，是他在 1956 年证明了七维流形上存在着不同的微分结构。这一发现，摄服了所有数学家的想象力，导致了一个全新的拓扑学领域的诞生，即微分拓扑。

对于流形上的光滑结构引进一个不变量，是 Milnor 最初证明的基础。设 $M^7$ 是一个单连通紧流形，它的上同调群满足 $H^3\left(M^7,Z\right)=H^4\left(M^7,Z\right)=0$ ．Milnor 不变量 $\lambda \left(M^7\right)$可以构造如下。根据 Thom 的结果 ${\Omega }_7=0$ ，可以取到 $W^8$ ，其边界恰是 $M^7$ 。流形 $W^8$ 上有如下拓扑不变量：第一Pontryagin 类 $p_1\in H^4\left(W^8,Z\right)$ 以及符号差 $\sigma \left(W^8\right)$ ．利用这些不变量，数 $\lambda$ 由 $p_1$ 和 $\sigma$ 的一个函数确定。

Milnor 首先观察到，$\lambda$ 只与 $W^8$ 决定的配边类的取法有关，而不依赖于 $W^8$ 本身。根据前期 F．Hirzebruch 关于符号差 $\sigma \left(W^8\right)$ 的计算结果，Milnor 对于 $\lambda$ 得到了下述表达式

此处 $p_2$ 是第二个 Pontryagin 类，$⟨W^8⟩$ 是 $W^8$ 的基本同调类。 只剩下构造 $M_i^7$ ，满足 $M_i^7=\partial {\tilde{W}}^8$ 。流形 ${\tilde{W}}^8$ 是球面 $S^4$ 上以球体 $B^4$ 为纤维的丛。因此 $M_i^7$ 应是 $S^4$ 上的3维球丛，符号差 $\sigma \left(W^8\right)$ 和 $p_1\left({\tilde{W}}^8\right)$ 为已知．至于 $\lambda \left(M_i^7\right)$ ，有

对于球体丛 ${\tilde{W}}^8$ ，可知 $p_1=k$ ，此处 $k$ 是模 4 同余于 2 的任一整数。由此得 $p_2=\left(45+k^2\right)/7$ ．可见 $k\ne \pm 2$（模7）时，$p_2$ 不可能是整数。因为光滑流形的 Pontryagin 数总是整数，流形 $M_i^7$ 同胚于标准球面．这就证明了 Milnor 的结果。

Milnor 和瑞士数学家 M．Kervaire 合作，成功描写了 $S^7$ 上的全部微分结构。他们阐明了在光滑结构的集合 $\theta \left(S^7\right)={\theta }_7$ 中，可以引入群运算，使得 ${\theta }_7$ 成为 Abel 群．它是一个 28 阶的周期群，即 $Z_{28}$ 。

球面 $S^7$ 并非存在不同微分结构的流形的仅有例子。Milnor 和 Kervaire 证实，当 $n>7$ 时，$\theta \left(S^n\right)$ 是有限群，并在某些情形给出了计算结果。例如 $\left|\theta \left(S^{11}\right)\right|=992$ ．最近，在超引力隔膜理论的框架中，$S^{11}$ 上众多微分结构的存在性已经得到研究，其中流形 $S^{11}$出现于附加了自由度的时－空连续统的紧化。

流形上的光滑结构的研究在许多方面继续开展。Kervaire 构造了一个 10 维流形，它不具有任何光滑结构。 －Milnor 在1958年证明的7维球面上存在 28 个不同光滑结构不再是一个怪异的结果。紧随其后，德国数学家 E．Brieskorn 在 $S^7$ 上构造了全部 28 个光滑结构，它们由 $C^5$中的如下方程组给出

这里 $z_0,z_1,\cdots ,z_4$ 是复坐标。 25 年后 S．Donalson 证明了紧致单连通 4－流形上存在不同的光滑结构。这个显著的成果为他赢得了1986年度的菲尔兹奖。

作为一个才华横溢的数学家，Milnor 对于离散数学，代数群和 K 理论作出了出色贡献。近几年来，Milnor 在研究与复域的有理映射有关的一个课题。该领域的研究，源起于 20 世纪初法国数学家 P．Fatou，G．Julia，P．Montel 等人的文章，目前正在急速发展。它与遍历论，拟共形映射，离散群以及分形理论之间的一些重要而又出乎人们意料的联系已经被发现。

Milnor 关于 Morse 理论，示性类和配边理论［Mi1，Mi2］的著作，异常清晰地阐述了数学的深奥分支。

Milnor 之后又有三位拓扑学家进入了菲尔兹奖获得者的行列，他们是 M．F．Atiyah， S．Smale 以及 S．P．Novikov．

Michael Francis Atiyah．Atiyah，1966年获奖者。他是代数拓扑学和复分析学的若干分支中重要成果的创始人。他早期有关代数曲面的文章已使他跻身于第一流数学家的行列。然而他的主要成果，则是在 1963 年与美国数学家 I．Singer 合作证明的指标定理。

任一紧流形 $M^n$ 上椭圆算子的指标定理可以陈述如下． 设 $D$ 是 $M^n$ 上的一个椭圆微分算子。已知的事实是，算子 $D$ 的核（ $\ker D)$ 构成一个有限维向量空间。类似地，$D$ 的余核可以定义为 $\mathrm{Coker}D=\mathrm{Ker}{D}^{\ast }$（此处 $D^{\ast }$ 是伴随算子）．数量 $\mathrm{dimKer}D-\mathrm{dimKer}{D}^{\ast }$ ，称为指标（ind $(D)$ ），在流形 $M^n$ 的连续形变下不变，因而是一个拓扑不变量。I．M．Gel＇fand 曾猜测 $\mathrm{ind}(D)$ 能够用流形 $M^n$ 的示性类表示出来， Atiyah 和 Singer 则证明了这种表示是可能的．

指标定理有很长的根系。它包含了许多联系流形的拓扑性质和微分几何性质的经典结果。例如，Poincare 的用 Euler 数表示曲面上向量场的指标和的定理，是指标定理最简单的情形。此处算子 $D$ 取为 $\frac{\partial }{\partial \bar{z}}$ ．这个定理随后被推广。首先，流形的类被扩大。例如，指标定理被推广到带边流形、开流形等等。其次，算子的类也得到了扩展。在起初的证明中，本质上使用了较为广泛的一类算子：伪微分算子，其理论只是在数年前得到了发展．1962年菲尔兹奖获得者 Hormander 对于伪微分算子的一般性理论的构造，作出了主要贡献．

指标定理也被应用于复代数簇理论。代数几何学的一个核心定理，Riemann－Roch－ Hirzebruch 定理，是它的一个特殊情形。

Atiyah 和 Singer 对于指标问题的研究起源于企图推广 Riemann－Roch－Hirzebruch 定理。正当此项工作进行之际，他们从 Smale 处获知 Gel＇fand 的猜想。有关的细节以及 Atiyah 敏税的评注，发表在 Mathematical Intelligencer 对他的采访记中［At］。

定理的最初证明很复杂。它涉及大范围的数学概念，从拓扑理论的方法，其中基础性的结果归功于 Atiyah，Hirzebruch 等，到配边理论，伪微分算子，Soblev 空间，以及泛函分析中若干敏感的事实。

紧随 Atiyah 和 Singer 63 年的文章而出现的长达数年的致力于指标定理的讨论班和研讨会的文集，披露出了第一个证明的困难程度。即使在今天，这个定理的重要性仍未熄灭。近年来，已经在物理学中找到了一些有趣的应用。场论中量子的不规范性，规范场论中瞬子空间维数的计算，仍然是相关的课题。Dirac 算子的指标以及它的类似物，也在这些理论中得到计算。 指标定理在物理学中的应用促进了它术身证明的简化。自从第一个证明问世以来，已经有数次精简和澄消它的莹试。尽管作兴们的证明［At］，以及 Atiyah，Bott 和 V．K． Patodi $[\mathrm{At}]$ 的父章，以非儿的简朴利远俗为特征。但是这些I作依赖于同一组思想，仅是削弱了这个或那个复杂成份。

关于指标定理的证明，物理学家 E．Witten 选择了全新的途径。他第一个应用了起源于 70 年代的趋对称理论的思想，证明了 Morse 不等式和 Lefschet $z$ 公式。从指标定理的构思框架来看，这一途径将会应用于定理本身。物理学家 L．Alvarez－Gaume 实现了这个想法。

Alvarez－Gaume 的证明中的主要思想可以简介如下。选取某个一维的量子力学的超对称系统。在场论的欧几里德表述中，它是 $(0+1)$ 维空间中的一个系统，该空间具有 Hamilton 函数 H 以及满足以下交换关系的一组超载算子（或超对称负荷）$Q^i$

其中 $\left\{Q^i,Q^j\right\}=Q_i{Q}_j+Q_j{Q}_i$ 是反交换化子． 在 $(0+1)$ 维场论的理论中，有一个坐标可以解释为时间，而通常意义下的旋量的概念并不存在。因此，如何规定一个将玻色状态对应到费米状态的算子并不显然。E． Witten［ Wi 1］引入了费米算子 $(-1{)}^F=\exp \left(2\pi J_z\right)$ ，使得将玻色子映到费米子成为可能。此处是定义在状态的 Hilbert 空间上的投射．

现在我们引进算子 $S=\frac{Q+Q^{\ast }}{2}$ ．由（1）知

Witten 观察到 Hamilton 函数 $H$ 的具有非 0 能量的特征状态经过算子 $S$ ，映为非 0 能量的其他状态，但是这些状态具有相反的费米数 $|E⟩$ ．以下我将使用物理文献中标准的 Dirac记号。因此所有具有非零能量的状态都以费米－玻色对的形式出现，后者对于每个能量层，生成一个2维超对称表示。当能量为 0 时，情形完全不同。具有零能量 $n_B^{E=0}$ 的玻色状态的数目不再等于具有零能量 0 的费米状态的数目 $n_F^E=0$ ．Witten 证明了差 $n_B^{E=0}-n_F^{E=0}$等于 $\mathrm{Tr}(-1{)}^F$ ；更准确地说，它等于正规化的迹数

稍做努力，就会看到方程（3）定义了状态的 Hilbert 空间上，算子 $Q$ 的指标。从条件 $Q\mid \psi \ge 0$ 出发，状态的 Hilbert 空间被分解为玻色和费米部分。据此，可以定义算子 $Q$的指标 $=\mathrm{ind}(Q)=\mathrm{dimKer}Q-\mathrm{dimKer}{Q}^{\ast }$ ．Witten 证明了

至此，算子 $Q$ 的指标可利用已在文献中得到充分发展了的泛函积分的技巧来计算。利用摄动理论，我们计算积分

其中 $S_E(\phi ,\psi )$ 是欧氏作用泛函。将量 $Tr(-1{)}^F{e}^{-\beta H}$ 展为 $\beta$ 的级数。则（5）式中与 $\beta$ 无 至此，计算一个椭圆算子 Q 的方案如下。构造一个适当的以 Q 为超载的 1 维超对关的首项正是算子 $Q$ 的指标。称的量子力学模型。该模型决定了算子 Q 所作用的状态的 Hilbert 空间。算子 Q 的指标等于此模型的 Witten 指标．

Alvarez－Gaume［AG］证明了，要找到诸如 Euler 示性数，Hirzebruch 符号差等经典算子的指标，以及某个紧流形上 Dirac 算子指标，只要考察 $M$ 上由 Lagrange 泛函 $L_F(M^n$上一点的自由运动）所定义的某个初等 $\sigma$－模型 ${}^2$ 的超对称扩张就足够了：

其中

${\gamma }^0={\sigma }_2$（Pauli 矩阵）；并且 ${\Psi }^i=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\Psi }_1^i}{{\Psi }_2^i}\right)$ 是两个分量的实旋量。 完整的 Lagrange 泛函具有形式 $L=L_F+L_{\text{sup }}$ ． 通过深入讨论指标定理这个课题，我试图解释当代物理学的思想如何赋予基础性数学成就以全新的面貌。新、旧物理学和数学的思想与方法的相互交融产生出了极不寻常的强烈印象。

Atiyah 和 Singer 的成果带来了一个新的数学分支一整体分析学。Atiyah 曾经乐观地谈到，拓扑学家们习惯于在复杂流形上研究简单算子，而分析学家们则在简单空间上研究复杂算子。研究复杂空间上的复杂算子的时代已经到来。

毫无疑问，Atiyah－Singer 指标定理在数学和物理学的不同分支中的众多应用，将使它具有旺盛的生命力。近几年来，Atiyah，没有中断与纯数学的连系，一直在从事物理数学的研究工作。只需提及他与 V．G．Drinfeld 合作完成的关于瞬子分类的文章，以及他本人关于作为 2 维瞬子的回路空间的 4 维瞬子的表示的文章，就以足够。与他的朋友和合作者 Bott，Singer 一道，他在 Riemann 曲面上发展了 Yang－Mills 理论。

Atiyah 是关于数学与数学物理的现代问题的众多综述及广为流传的文章的作者，他也是一位优秀的演讲者和教师。并非偶然，他的学生 Donaldson 利用场论和代数拓扑的思想，在 4 维拓扑学领域取得了重大发现。截止到 1985 年，牛津大学出版社已经出版了 Atiyah 的五大卷全集；但它们不再能够反映 Atiyah 工作的全貌．由于他不知疲倦的研究，每年都有新的正式发表的文章。

从菲尔兹奖看现代数学 ${}^{(5)}$

M．Monastyrsky

拓扑（续）

Stephen Smale．为了加深对于拓扑学获奖文章的了解程度，我们转向 Smale， 1966 年获奖者，的工作。关于他在拓扑学和动力系统理论中的重要成果，我们选择拓扑学做为开端。

Poincaré 猜想是拓扑学中最为困难的问题之一。利用现代的术语，它可陈述如下 Poincaré 猜想：一个与球面具有相同同调群的闭、光滑单连通流形同胚于。 Poincaré 提出的猜想仅限于 3 维．它到 $n$ 维的自然推广被命名为广义 Poincaré 猜想。Poincaré 曾经确信更强的结论成立，即 $M^n$ 微分同肧于 $S^n$ 。然而，根据 Milnor 怪球的存在性，后一种形式的猜想并不成立。Smale 证明了的 $h-$ 配边定理更为一般，由它可以推知，当维数 $n\ge 5$ 时，Poincaré 猜想成立。当维数 $n=5,6$ 时，强 Poincaré 猜想成立（ $M^n$ 微分同胚于 $S^n$ ）。

Smale 的 $h$－配边定理可以陈述如下．设 $V,V^{\prime }$ 和 $W$ 是一个流形的三元组，$V$ 和 $V^{\prime }$是 $W$ 的边界；并且 $V$ 和 $V^{\prime }$ 都是 $W$ 的形变收缩核。这些条件定义了 $h$－配边。

Smale 定理．如果 $V$ 和 $V^{\prime }$ 单连通，则 $W\approx V\times I$ ，从而 $V$ 微分同胚于 $V^{\prime }$ 。 Smale 的证明，巧妙地利用了 Morse 割补术理论，在 Milnor 的著作［Mi2］中有很优美的表述。

初看起来，高维的 Poincaré 猜想会比3， 4 维的情形易于证明，似乎难以置信。根本原因在于，曲面到 5 维以下的流形的映射不可能被嵌入逼近。在对流形进行分类时，会出现类似的现象。

M．Freedman 和 Donaldson，1986年获奖者，近年来在 4 维拓扑学中取得极为重要的进展。我们将很快转向他们的工作。

由于篇幅的限制，无法评述 Smale 在拓扑学中的所有成就，我仅提及一个具有奇特几何解释的漂亮结果． 1959 年 Smale 证明了任何两个 $S^2$ 到 $R^3$ 的浸入正则同伦。这个定理的推论之一是，$R^3$ 中的一个球面的内侧可以翻转为外侧。这个结果以及它的推广，近来在球面微分自同胚群的研究中已经引起重视。

关于动力系统理论，Smale 写下了一系列具有深刻拓扑学基础性的文章．拓扑学在动力系统理论中的应用有洲源的历处。George D．Birkhoff 是 Smale 的先驱者之一，他仔细研究过一个等偏轨道邻域中的：维动力系统的行为。Poincaré 在他对于约束条件下的天体力学中的三体问题的盖名研究 1 作非，发现了等偏轨道。佰 20 和 30 年代，Birkhoff考察了具有复杂结构的相流形的动力系统。随后是长时间的讨于 ${}_2$ 门化的研究。在复活对于动力系统的兴趣，以及构造一个多维理论方面，Smale亭有盛兴。这些领域在过去的 30 年中已经成为数学中最为多产的方向之一。所谓结构稳定系统是动了系统的多维理论中的一个重要概念。对于它，Smale 构造了一个独立的理论。1937 年 A．A．Andronov和 Pontryagin 精确陈述过一个动力系统的结构稳定性概念，但是他们的研究仅限于 2 维的情形（平面上）。

一个微分方程组的稳定性概念可以陈述如下。令表示 $n$－维向量，方程组

称为结构稳定的，如果它的轨道（相位图）在右端的微小扰动下不变。结构稳定性的准确形式化需要引进若干概念（参见 $[\mathrm{Sm}1])$ 。

在 2 维情形，结构稳定的 Andronov－Pontryagin 系统具有以下性质： 1）焦型和鞍点型的奇点数目有限； 2）极限圈的数目有限。 Smale 证明，在高维情形会发生根本性的变化。他构造了一个结构稳定系统，它有无限多个奇点，极限圈等等。Smale 的著作 $[\mathrm{Sm}2]$ 中给出了与此发现相关的有趣的细节，他证明了结构稳定性系统也可产生于离散的自同构，例如，由特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 满足 ${\lambda }_1=1/{\lambda }_2,{\lambda }_2>1$ 的变换生成的 2 维环面的自同构群。Smale 猜想具有负曲率的流形上的测地线流结构稳定。这一猜想，后来由 D．V．Anosov 证明，导致了对于重要的一类具有指数型不稳定的轨道（ y －系统或 Anosov 系统）的识别。

目前，多维动力系统理论正在湍流，流体动力学中寻找物理上的应用，并且已经被诸如奇异吸引子，Feigenbaum 泛性等著名的发现所充实。

我们以一个历史评注作为结束。显然，奇异吸引子的第一个例子是 Lorenz 吸引子。 1963年，E．Lorenz 对于下面的方程组进行了数值研究，它描写了一个三模态对流方程。该方程组是大气运动的一个良好的近似描述：

（ $a,b,c$ 是定数）．对于这个方程组，发现了一个不变集，它的行为类似于 Smale 型轨线。 1945年，英国数学家 M．Cartwright 和 J．Littlewood 在一篇著名的，但又异常难读的文章中，研究了具有如下扰动的 Van der Pol 方程

他们观察到，在参数 b 的某一取值范围中，轨线的 Smale 行为（无穷多周期解，非稳定轨线等）。

很自然，无论 Cartwright 还是 Littlewood 都无法预见动力系统理论多产的发展。为了战时的需要。他们两人仓促改变了自己通常工作的领域。对于 Cartwright，微分方程的专家，这一转变颇为自然。而对于 Littlewood 来说，他不得不搁置所钟爱的数论，依靠自己的特有的解析的才智，从事解答困难的、必须面对的应用性问题。毕竟，Van der Pol 方程起源于幅射物理。Littlewood 显然被这个问题深深地吸引住了；他在 1957 年重新回到 Van der Pol 方程，并致力于有关它的两长卷研究报告。

Sergei Petrovich Novikov． 1970 年，Novikov 荣获菲尔兹奖。他是拓扑学许多方面杰出成果的作者。我们的介绍以他在叶状结构理论中独一无二的工作为开端，它处于动力系统和拓扑学的交界处。叶状结构理论在下述意义上，是常微分方程理论的多维推广。它除了轨线，叶状结构理论，也关心微分形式定义的超曲面的分布。最简单的叶状结构的类，是余维为 1 的叶状结构的类（或者说，一个 $n$ 维流形中 $n-1$ 维超曲面的类）。相对地说，叶状结构理论是数学的一个新分支，位于微分拓扑学和微分方程理论的会合点。它本质上起源于 C．Ehresmann 和 G．Reeb 在 40 年代的一篇文章，他们构造了 $S^3$ 上的非平凡叶状结构。这种叶状结构并不光滑。1952年，Reeb 稍微改进了这个构造，得到了一个现在以他的名字命名的光滑叶状结构．

Reeb 状结构．用 ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2=1,z_i\left({\rho }^i,{\theta }^i\right)$ ，表示球面 $S^3$ ，首先在实心环 $D^1\times S^1$ ， ${\left|z_1\right|}^2\le \frac{1}{2}$ ，上构造 Reeb 叶状结构，其中 $D^1$ 是以 ${\rho }^1,{\theta }^1$ 为坐标的圆盘，而 $S^1$ 是以角度 ${\theta }^2$为参数的单位圆周。几何上讲，此叶状结构由下述交截所确定 a）${\theta }^2=c,{\left({\rho }^1\right)}^2=$ 常数（此交截是一圆周），${\left({\rho }^1\right)}^2=0$（此交截为一点）； b）叶状结构 $\tan {\theta }^1=\lambda$ 的一个交截由曲线 ${\theta }^2={\theta }_0^2=\exp \left[-1/\left(1-2{\left({\rho }^1\right)}^2\right)\right],{\rho }^1<\sqrt{2}/2$ ，组成。实心环 ${\rho }^2<\sqrt{2}/2$ 上的叶状结构同法制做。边界 ${\rho }^2={\rho }^1$ 构成一个闭纤维。它是 Reeb 叶状结构中仅有的一个，所有其他纤维都同胚于平面。

3 维球面 $S^3$ 可由两个实心环 ${\rho }^2<\sqrt{2}/2,{\rho }^1<\sqrt{2}/2$ 出发，将边界 ${\rho }^2={\rho }^1$ 上的点粘合得到。在每个多胞形上选取一个Reeb 叶状结构，并且照顾到边界的等同法则，我们得到整个 $S^3$ 上的 Reeb 结构。这里 $S^3$ 的一个紧纤维是 $T^2$ 。该叶状结构具有 ${\mathrm{C}}^1$ 光滑度。

有一个猜想断言，$S^3$ 上任意一个余维为 1 的叶状结构，必有一个紧纤维。Novikov证实了这个困难的猜想。在证明中他改进了构造法，这对于叶状结构理论的发展十分重要。

对于余维为 2 （曲线）的情形，猜想是错误的。在 30 年代 H．Seifert 提出相关的猜想，在1974年被 P．Schweitzer 所推翻．他在 $S^3$ 上构造了一个有光滑度的向量场的例子，它没有周期解，因而没有余维为 2 的紧纤维。

关于代数拓扑学，Novikov 写了另外一些文章。其中之一对于 $n\ge 5$ 的单连通流形 $M^n$做了分类（W．Browder 曾经独立地得到一个结果）；另一篇文章证明了有理 Pontryagin 类的拓扑不变性。尽管 Novikov 关于 Pontryagin 类的拓扑不变性的定理仅对单连通流形成立，其证明涉及到非单连通的环状子流形。尽管策略上有些不自然的成份，寻找新的证明的企图目前仍是一无所获 ${}^{1)}$ 。1966 年 Novikov 推进了非单连通流形同伦不变量结构的一个猜想，后来被称为高阶符号差猜想。它断言，对于基本群非平凡的流形（ ${\pi }_1\left(M^n\right)\ne 0$ ），其所有同伦不变量都可表示为 Hirzebruch 多项式 $L\left(p_1,\cdots ,p_n\right)$ 的积分，并乘以 ${\pi }_i$ 所定义的类。其中 $p_i\left(M^n\right)$ 是 Pontryagin 类．这个猜想激发了拓扑学家们的极大兴趣。对于十分广泛一类流形，众多数学家们致力于证明 Novikov 猜想。基于椭圆算子理论，G． Lustig 提出了证明 Novikov 高阶符号差猜想的新方法，是 Atiyah－Singer 理论的一种推广。通过某些数学物理的修正，Lustig 的方法使得 A．Connes，H．Moscovici 以及 J．Lott对于 ${\pi }_i\left(M^n\right)$ 为双曲群的流形，证明了 Novikov 猜想。此类群，由 M．Gromov 引进，对于在 Thurston 规划的脉络中研究了 3 维流形尤为重要。

从菲尔兹奖看现代数学（6）

M．Monastyrsky

拓扑（再续）

在后来的年代中，Novikov 离开了代数和微分拓扑学，将自己投身于数学物理，并在广义相对论中得到了关于齐性模型的结构的重要结果．对非线性可积分系统他也得到了重要成果。这一方向的一个基本结果是 Korteweg－de Vries 方程的周期解问题。P．Lax也曾独立地研究过这个方程。这个问题相应的系统的阐述导致了可积系统理论中一个与代数几何密切相关的新领域的诞生。考虑 Korteweg－de Vries 方程的2维推广，即 Kadomtsev－Petviashvili 方程，Novikov 得出一个引起极大兴趣的猜想，它与 Riemann 曲面理论中一个经典问题—Schottky 问题的答案有关。这个问题要求找出一组方程来刻划 Riemann 曲面的 Jacobian。Novikov 提出相应的 theta 函数描述了 Jacobian，当且仅当这个 theta 函数是 Kadomtsev－Petviashvili 方程的解。Novikov 猜想最近被 T．Shiota和 M．Mulase 所证实。

通过与物理学家们的密切合作，Novikov 紧随着规范场论的研究，在多值泛函理论方面取得了开创性成果。这里，如同在他的其他物理学方面的文章一样，Novikov 将物理的直观与深刻的拓扑技巧相结合。与他的学生们一道，他最近在弦论中取得了重要的结果。

他与物理学家们的紧密接触，促使他探讨如何将当代几何和拓扑学转化为理论物理学家们能够接受的形式．许多物理学家和数学家都已经认识到这方面的需要，而 Novikov与他的同事 B．A．Dubrovin 和 A．T．Fomenko 一起，首先着手贯彻了这一计划。通过对他的三卷本的《当代几何学》的学习，理论物理学家们获得了在数学物理的新分支中从事工作的基础。

对于拓扑学家们的研究工作的一项分析表明，他们当中许多人的工作与流形的分类问题有关。本段关于拓扑学的介绍，将以讨论有关 3,4 维流形的文章作为结束。

Michael Freedman．Freedman 于 1986 年获奖，他在 1982 年对于 $S^4$ 证明了

Poincaré 猜想．他的结果—4 维紧致单连通拓扑流形的分类一要比猜想本身更为一般。注意到上同调群 $H^2\left(M^4;Z\right)$ 上的相交型 Q ，他的结果可以陈述为：整数环 $Z$ 上的任一么模二次形式，可以是 $H^2\left(M^4;Z\right)$ 上的一个相交型 Q。

正如数学中常常发生的那样，这个结果的简洁表述隐藏了一个极为困难的证明。主要的工具是一项复杂的割补术技巧，其中涉及到粘接所谓 Casson 把柄。利用相交型进行分类的想法可以追溯到 Rokhlin 1952 年的一篇文章，他得到了一个直到 20 年后才获得充分赏识的结果。他证明了如果一个光滑紧致单连通 4 维流形有一个偶的相交型 Q，那么其符号差可被 8 整除。正如 Donaldson 后来所证实，这个结果意味着具有偶的相交型的流形 $M^4$ ，不可能具有光滑结构。

近些年来，Freedman 的兴趣已经转向物理。但是，与 Donaldson 的起源于规范场论的工作相对比，Freedman 寻求拓扑学在等离子体物理学和磁流体动力学中的应用。他利用了力的磁线的环绕的非平凡性，成功地估算了一个磁场的耗散能量 $[\mathrm{FH},\mathrm{FHW}]$ 。

Simon Donaldson．仅与Freedman发表於1982年的结果一年之隔，Donaldson， 1986 年获奖者，证明了如果一个光滑紧致单连通 4 维流形的相交型 Q 正定，则可在环 $Z$ 上对角化，即 $Q=x_1^2+\cdots +x_n^2$ ．与 Freedman 的结果相结合，这个证明可以产生一个意外的推论 一存在着彼此同胚、但不微分同胚的 4 维流形。

Donaldson 的文章并不意味着 $S^4$ 上存在不同的微分结构，因此没有推翻强 Poincaré猜想。对于 $S^4$ ，我们有 $H^2\left(S^4,Z\right)=0$ ，从而定理因平凡而失效．然而，Donaldson 的结果有可能强化，从而导致在 $S^4$ 上构造不同的光滑结构。Donaldson 的结果意味着在非紧致空间（4维欧氏空间）上，存在着不同的光滑结构。

R．Gompf 和 C．Taubes 在一系列的文章中，起初构造了一串可数的（Gompf），接着又构造了一串连续的（Taubes）光滑结构族，其中任何一对都不微分同胚。然而 Taubes构造的族并不完整，因为确有怪异的 $R^4$ 空间（虚拟的 $R^4$ ），它没有出现在 Taubes 的序列中。这些空间的性质不同寻常。例如，这些空间中存在一些紧致子集，它们不能包含于以正常方式嵌入的 3 维球面的内部。怪异的 $R^4$ 空间的出现，或许对于量子场论具有意义重大的影响，因为欧氏空间上的微分结构正在引发讨论。

Donaldson 的结果产生了一项新的研究，它揭示了流形的一些出人意料的性质。其中与代数簇的微分结构有关的内容得到了广泛的关注。

所产生的问题是：4维流形的拓扑性质与代数性质之间有什么样的联系？答案可以用相交指标的矩阵或形式 Q 给出．Donaldson 的结果出乎意料。他构造了一个完整序列的代数曲面，它们具有相同的二次型 Q，但彼此又不微分等价。该结果与这种流形的另一性质有关。对于拓扑流形，Freedman 证明了可分解性质，即如果形式 Q 满足 $Q=Q_1+Q_2$ ，则以 Q 为相交型的流形 $M$ 可表为 $M_1+M_2,M_i$ 以 $Q_i$ 为它的相交型。对于 Donaldson 所描写的代数曲面，这一性质并不成立。这样的代数曲面就叫做 不可分解的．关于不可分解流形的结构，有几个优美的猜想。Atiyah 曾提出：不可分解的光滑 4维流形，应是球面 $S^4$ ，以及不可分解的代数曲面。1990年夏天，Gompf 与 T．Mrowka推翻了 Atiyah 的猜想，他们构造了一个 K3 型曲面的例子，即一个单连通 4 维流形，它不微分同胚于任何代数（复）曲面。 我将提到来自同一一组思想的一个更为有趣的结果。S．M．Finashin，M．Kreck 和 O． Ya Viro［FKV］已经证明了下述定理：$S^4$ 中存在一个光滑2维曲面的无限序列 $S_1,S_2,\cdots$满足以下性质：

1）对于每对 $i\ne j$ ，空间对 $\left(S^4,S_i\right)$ 和 $\left(S^4,S_j\right)$ 同胚，但不微分同胚。 2）每个 $S_i$ 同胚于 10 个实射影平面 $R{P}^2$ 的连通和。 Donaldson 的文章充满了有趣的结果和证明的方法。与精巧的拓扑技术一起，他使用了当代场论中的构造——Yang－Mills 方程的瞬子解。这里 Taubes 与 Uhlenbeck 的重要文章为 Donaldson 证明的解析部分奠定了基础。D．Freed 和 Uhlenbeck［FU］以及 H． B．Lawson，Jr．［J2］在他们的著作中，对于 Donaldson 定理作了优美阐述，其中包含了全部必需的解析和拓扑的工具。

因为没有篇幅讨论 Donaldson 的全部成就，我仅仅列出有关单极和瞬子分类的两项成果。这两个问题都来自于物理学．但是，只有利用代数几何学的技术，它们的完整解答才成为现实。对于和瞬子分类有关的问题，Donaldson 找到了新的证明方法。第二个问题与描写单极的模空间（场方程的依赖于时间的 3 维经典解）的复杂问题相关。与 4维的情形类似，有关连系单极解与 3 维流形的分类的有趣但又悬而未解的问题也从中产生。

1985 年，加州理工学院的 A．Casson 引进了一类新的 3 维流形 $M^3$（主要是同调球）的整数型不变量。他的途径与群 ${\pi }_1\left(M^3\right)$ 到某个规范群，例如作用于 $M^3$ 的具有 0 曲率的连络上的群 $SU(2)$ 的表示有关。 A．Floer ${}^{2)}$ 给出 Casson 的结果一个重要推广，他构造了无限维连络空间的同调群。这里，也可以发现与物理模型相连系的迹象。尽管这个领域仍处于它的萌芽期，它与辛 Morse 理论，辛流形中的伪全纯曲线（在 Gromov 的意义之下）间的联系，已经引起了关注．4维流形的不变量预兆着重大而又无法预测的结果。

William Thurston． 30 年代初期对于 2 维流形的完全分类的工作以它的简洁、完整著称．然而转向 3 维空间时却遇到了似乎无法克服的重大障碍。在 1983 年获奖者 Thurston 的文章之后，情况发生了彻底地改观。Thurston 和少数其他数学家们的观点，在攻克这一似乎毫无希望的问题方面起了促进作用。

Thurston 猜想到每个 3 维流形可以分解为一些具有某种几何结构的典型块。这里，最后一个短语需要加以解释。它断言一个紧致可定向3维流形可被嵌入于它里面的一些 2 维球面和环面所分割，使得如果粘接 3 维球体的边界球面并且忽略环面，我们得到一个具有几何结构的带边流形 $M^3$ 。所谓 $M^3$ 具有一个几何结构，是指在它上面可以引进局部齐性的完备 Riemann 度量。其中我们所谈论的最为有趣的情形，是负曲率度量（双曲空间）。

Thurston 的猜想还未被全部证明。它的证明应该包括了 3 维 Poincaré 猜想的证明。然而对于一大类流形，所谓的 Haken 流形，Thurston 可以证明他的猜想。Thurston 也猜测到如何双曲流形可以被Haken流形所覆盖。

3 维流形的拓扑与微分几何的特征（流形上双曲度量的存在性）似乎出人意料。在这个方向上已经得到了大量重要结果。例如，Gromov 证明了，对于双曲空间，体积是一个拓扑不变量；进一步，仅存在有限个完备双曲空间，它们的体积小于一个给定常数。

从对三维流形的研究中，已经发现了不同数学分支之间的优美联系—Klein 群论，拟共形映射，离散样，动力系统，等等。这此联系对于在同痕意义上描写 2 维曲面 $M^2$的微分同胚（或同胚）$\{\phi \}$ 的样的问题中，表现得尤为清楚。在 30 年代对这个问题的各项研究中，O．Teichmuller 得到了主要结果。O．Teichmuller 用 Riemann 曲面和拟共形映射理论的观点来研究这个问题，而 J．Nielsen 则从代数与几何的观点出发从事研究。 Nielsen 引起了对于将曲面 $M^2$（甚至在闭曲面 $M^2$ 的情形）分割为片的方法，以及研究映射 趋于边界时的性质的重要性的注意。Thurston 引人注目地在这一问题中应用了动力系统理论，尤其是在 $M^2$ 上引进了一类双曲的、Anosov 不稳定的叶状结构．这里，必须在亏格大于 1 的曲面的空间中引入双曲度量。对于数学中这个有前景的领域感兴趣的读者，应该参考广为流传的文章［TW］和 Thurston 的综述［T2］．十分不幸，在本文写作之际，Thurston 1979 年的普林斯顿讲演稿仍然只有预印本。

我们以 Thurston 在 3 维流形的研究中的许多卓越的辅助性成果，来结束对他的文章的短暂浏览。例如，Thurston 证明了 P．A．Smith 的一个长期以来悬而未决的猜想：

定理（Smith 猜想）已知 $\phi :S^3\to S^3$ 是一个保定向微分同胚，满足 ${\phi }^n=1$ ，并且假设映射 $\phi$ 有一个不动点．则 $\phi$ 的不动点集是一个不打结的圆圈，并且微分同胚 $\phi$ 共轭于某个等矩。

Thurston 在数学的其他领域中发现了丰富的结果，例如叶状结构理论。这里是一个例子：满足 $\chi (M)=0$ 的流形上，存在余维为 1 的叶状结构。最近，Thurston 一直在研究细胞自动机模型。

Thurston 的文章反映了对于流形的代数 - 几何特征，微分 - 几何特征，以及拓扑之间精巧连系的日益增长的研究兴趣。

复分析

丘成桐（Shing Tung Yau）．在复分析的多个方向的研究工作中建立桥梁是很自然的．不按时间顺序，我首先介绍 1983 年获奖者丘成桐（Yau）的工作．丘成桐是一位兴趣广泛的数学家．他的成就之一是证明了 1954 的 Calabi 猜想．

Calabi 猜想：设 $M^n$ 是一紧 Köhler 流形，Köhler 度量为 $g$ ，相连的形式 $\Omega$ ：

则每－Köhler 形式（7）上同调于由 Ricci 张量生成的形式 $\tilde{\Omega }$ ．

此定理的一系列推论均证实了它在复分析和代数几何中的重要性．这里，我们只指出其中之一，即著名的 Severi 猜测：如果一个复曲面同伦于 $C{P}^2$（二维复射影平面），那么这个曲面与 $C{P}^2$ 是双全纯的．

当今，由于与物理方面的新发现密切相关（特别在弦理论与超弦方面），对具有 Ricci平坦度量（第一陈类 $c_1=0$ ）的流形即 Calabi－Yau 流形的研究越来越热．在弦理论中，物理上的时空是一个被称为 波色弦（bosonic string）的 26 维空间和一个 10 维空间，也就是费米弦（fermionic string）．在通过外自由度转变成四维时空的过程中涌出了一些复杂的问题．物理上的需要导致了这样一个假设：紧化流形是 Calabi－Yau 流形．这类流形也包括那些有奇点的流形，用 Thurston 的术语说即是轨形（orbifolds）．

丘成桐的另一个很有意义且超出了数学领域的结果是与 R．Schoen 合作的在广义相对论中关于正质量猜测的证明．他们证明了一个非平面孤立物理系统的总能量是正的，这里总能量包括物质和引力的贡献．后来，Witten 运用超对称的思想对此给出了一个新的证明．

不讨论丘成桐的其它工作，我还要提及的是他与 W．Meeks 合作的关于三维流形的论文．他们解决了极小曲面理论中一些长时间悬而未决的问题．得到的结果，例如等价环定理，对证明 Smith 猜测也是很重要的。在和 Lawson 合作的一系列论文中，丘成桐描述了一类由一个紧非 Abel 变换群作用的配备正纯量曲率度量的流形．

尽管丘成桐的许多证明经常包括复杂的解析方法（例如应用 Monge－Ampére 方程解的先验估计证明 Calabi 猜想），但其结果本身本质上却是代数的和拓扑的．

Lars Ahlfors．回顾 50 年前，由于在复分析方面的出色工作，Ahlfors 获得了第一枚 Fields 奖章．他是由 E．Lindelöf 和 R．Nevanlinna 创立的杰出的芬兰数学家学派的代表．Ahlfors 帮助创立了黎曼曲面上的现代几何理论．在1935年的题为＂覆盖曲面理论＂（＂Zur Theorie der Überlagerungsflächen＂，Acta Math，65，157－194）的出色论文中，他给出了一类曲面使得关于亚纯函数值分布的 Nevanlinna 理论在上面成立。他构造了覆盖理论并且证明相应的曲面是由比共形映射更广泛的一类映射所确定的．Ahlfors 把这些映射称为拟共形映射．早在 1928 年，H．Grötzsch 引进了这类映射， 1935 年，M．A． Lavrent＇ev 在拟椭圆型方程理论中也引进了它们．主要归功于 Ahlfors，人们很快认识到拟共形映射在复流形中的重要性。拟共形映射作为工具使得黎曼曲面中一些基本问题的解决成为可能：黎曼曲面模空间的描绘，Teichmüller 空间及黎曼曲面的变形等等．是 Ahlfors 重新唤起了人们对二十世纪三十年代 Teichmüller 的一系列基础论文的兴趣。在他们的工作中，Ahlfors 和他的学生们（特别是 Lipman Bers）推进了 Teichmüller 的结果并且在几个方向拓广了它们，其中尤其漂亮的是他们对 Klein 群的研究．在长达半个多世纪的时间中，Ahlfors 成为复分析的领袖人物，当之无愧地被第一届 Fields 奖委员会 ＂提名．他的工作于1982年被收集出版在［Ah］中。

Kunihiko Kodaira．在1954年阿姆斯特丹会议上，Fields 奖授予了 Kodaira（即小平邦彦）。他的论文涵盖了数学的三个分支：拓扑，复分析和代数几何．这些分支的划分在 Kodaira 的论文中是显见的．

Kodaira一篇最重要的论文是关于如何判定一个紧复流形是代数流形。他证明了：一个紧复流形是代数的当且仅当它是一个 Hodge 流形，即它有一上同调于积分形式的 Kähler 形式．Kodaira 还给出了第一个 Riemann－Roch 定理的多维推广和第一个紧复曲

1954 年，Kodaira 发表了题为＂关于约束型的 Kähler 簇＂［Kod］的重要论文，其中面的分类．给出了关于紧复流形的某些上同调群退化（平凡）的重要定理的证明．他的定理（消没定理）对复流形几何的研究是关键的．Kodaira 的一个定理的推论相当于 Lefschetz 定理的简单证明，这个定理联结着一个投影流形的上同调和它的一个非退化超平面截面的上同调．

在对复数域上代数流形的长期研究中，Kodaira 的论文是最辉煌的成绩．据杰出数学家 Hermann Weyl 的观点，自 Hodge 之后，这些论文是对复流形理论的一流的贡献。

1954 年，Fields 奖委员会的主席 Weyl 就获奖者 Kodaira 和 Serre 的论文发表了演讲．奇怪的是他当时对分清这两个数学家的研究领域有些困难．他说：＂不知情者可能会认为我们的委员会错误地将 Fields 奖章授予两个工作十分相近的研究者．委员会有责任表明虽然二者在方法上有些重复，但他们是解决了完全不同且难度极大的问题．＂

坚持对复流形理论的偏好与研究，Kodaira 后来又获得了几个重要的结果，特别是他与 D．Spencer 合作的关于解析空间形变的一系列论文．这些论文研究复簇族，他们开辟了新的研究领域．Kodaira 1975 年以前的所有工作被普林斯顿大学整理成三卷发表了．Kodaira 为普林斯顿大学工作了近30年．从那时起，代数几何、拓扑与复分析之间的联系变得更密切了．

数理逻辑

Paul Cohen．Cohen 对于数理逻辑的贡献是非常重要的．是他建立起连续统假设相对于通常的集合论公理系统的不可证明性．乔治．康托（G．Cantor）于1878年提出连续统假设：在任何两个不可数的实数子集之间都有一种一一对应（这是稍后所提练出的一种表述方式）．在1884年发表于德国《数学年刊》的一篇文章的结尾，康托用＂待续＂二字宣布他在续篇中证明连续统假设的计划．当然，如同自 Fermat 宣布了他的最后定理 ${}^{1)}$ 的证明以来的诸多名文一样，这一计划中的续篇一直未能问世．

尽管有过相当多的努力，几代数学家都未能证明或者否定连续统假设。从1938年到 1940 年，哥德尔（Gödel）取得了有关连续统假设的杰出成果：他证明了连续统假设与包含选择公理在内的集合论公理的无矛盾性，除非集合论公理系统自身含有某种矛盾•最终，Cohen 于 1963 年证明了连续统假设不能由集合论公理所导出，除非这些公理自含矛盾．（哥德尔所建立的不可否定性连同 Cohen 所建立的不可证明性一起揭示了连续统假设相对于集合论公理的独立性．）就象哥德尔关于算术系统的不完全性定理一样，这一基础性结果具有广泛的科学与哲学的意义．

Cohen 是一位兴趣很广泛的数学家．他曾在1962年于斯德哥尔摩召开的国际数学家大会上逞交一篇关于调和分析的文章．无疑，他的主要成就是关于连续统假设的工作．

这篇综述必定很简短而肤浅．但是这些获奖论文则向我们展示出一幅过去 50 年里数学进步的美妙图画．

从这些菲尔兹奖得主的命运来看，此奖设立者的本意是恰到好处的．迄今为止，几乎所有获奖者都还健在．只有道格拉斯（Douglas）已于1965年去世．他们中间的许多人自得奖之后一直不断取得深刻的结果并因此而被公认为所在数学分支中的权威．不少获奖者已经改换了研究方向，而且在全新的领域中又已取得重要结果．比如，Thom 创立了灾变理论，这一理论已在力学，物理，生态学等等领域中得到重要应用．Novikov 转向广义相对论及非线性方程论的研究．Smale 则一直在经济学和计算理论方面工作．

近来已见到另外一些颇受关注的国际数学奖产生．至此还很难断定它们的永久性或者是否能与菲尔兹奖相比较．最重要的沃尔夫（Wolf）奖是基于不同的原则而设置的［Za］．它为伟大的数学家的终生成就而加冕（至少表面上从历届获奖者的名单我们可以这样认为）．在沃尔夫奖得主中有 Selberg，Ahlfors，Kodaira，Milnor，Hörmander，及 Thompson．

无论菲尔兹奖能否同诺贝尔奖相比，菲尔兹奖赏年青数学家的精美构思已完满实现。