估计一个根式的和

2024年，中学数学联赛某地区预选题

令$S={\sum }_{k=1}^{40}\sqrt{400+k}$求$\lfloor S\rfloor$。

相当于我们要对$S$这个和做一个估计，误差要尽可能地小(至少累积误差要小于1)。

1. 逐项估计

在这个问题当中我们需要对$S={\sum }_{k=1}^{40}\sqrt{400+k}$做一个误差尽可能小，视最后情况而定但总之预计误差不会超过1的一个估计。我们发现，如果利用放缩$\sqrt{400+k}>\sqrt{400}$

1. 首先${\sum }_{k=1}^{40}f(k)=20\times 40=800$这个和可谓是非常简单了。
2. 其次，二者的误差也是容易估计的，因为$\sqrt{400+k}-\sqrt{400}=\frac{k}{\sqrt{400+k}+20}$,而我们可以用逐项估计的方法来估计累积误差。简单的放缩告诉我们$\frac{k}{40}>\frac{k}{\sqrt{400+k}+20}>\frac{k}{41}$于是$\frac{820}{40}>{\sum }_{k=1}^{40}\sqrt{400+k}-\sqrt{400}>\frac{820}{41}$即累积起来的误差的绝对值是不超过$1/2$的。 因此我们可以得到估计$820.5>S>820$因此$\lfloor S\rfloor =820$我们可以用wolfram代码验证一下结果:

NSum[Sqrt[400 + i], {i, 1, 40}]