通过逼近的方法证明函数是下凸的

问题

$f\in C[0,+\infty )$,非负，单减那么$F(x):={\int }_0^x(x-2t)f(t)dt$是凸函数(convex)。

1. 让函数变得光滑

主要想法1

该方法基于两个事实：

1. 对于光滑的函数而言，验证函数的凸性可以通过函数的二阶微分的正负性来判断。
2. 如果具有某种凸性的函数组成的函数列$f_n$逐点收敛到$f$，那么这种凸性会得到保留，即$f$也有这样的凸性。

所以如果我们可以用光滑函数去逼近目标函数，那么只要我们可以验证光滑的函数是具有某种凸性的，于是目标函数也具有相同的凸性。

1.1 利用含参数积分来实现光滑化

如果$f_{\alpha }\in C^1[0,+\infty )$并且继承$f$的其他多有性质（特别是单调性），那么是否我们能动用的工具会更多一点？

也就是说考虑$F_{\alpha }(x):={\int }_0^x(x-2t)f_{\alpha }(t)dt$这个时候我们可以用微分的手段，$F_{\alpha }^{\prime }(x)=-x{f}_{\alpha }(x)+{\int }_0^x{f}_{\alpha }(t)dt$那么此时$F_{\epsilon }^{\prime }(x)\ge 0$，然后考察二阶导数:$F_{\alpha }^{\prime \prime }(x)=-x{f}_{\alpha }^{\prime }(x)$于是$F_{\epsilon }^{\prime \prime }(x)\ge 0$。于是问题很容易就解决了。那么问题的关键是，是否能把这个做法过渡到一般的情况?

• 过渡:

如果$F_{\epsilon }$在$0,+\infty )$当中是凸的函数，也就是$\forall x_1,x_2\in [0,+\infty ),\forall t\in [0,1]$都有:$F_{\alpha }(t{x}_1+(1-t)x_2)\le t{F}_{\alpha }(x_1)+(1-t)F_{\alpha }(x_2)$如果$F_{\alpha }(x)\to F(x)$，即对于任意的$\epsilon >0$都有$F(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tF(x_1)+(1-t)F(x_2)+\epsilon$从而导致$F$的凸性。然后我们考虑到$F_{\alpha }(x)$与$f_{\alpha }(x)$之间的关系，于是只需要保证对于任意的$\epsilon >0$以及任意闭区间$I=[0,b]\subset [0,+\infty )$  ${\sup }_{x\in I}|f_{\alpha }(x)-f(x)|<\epsilon$这意味着这种逼近必须是在任意闭子集上是一致逼近的。而如何找到这样的$f_{\alpha }$就变得非常关键。因为对于连续函数而言，肯定是存在一个具有紧支的光滑函数去逼近的，但是$f_{\alpha }$还必须要满足单调性和非负性，这就需要具体的构造了。

• 构造$f_{\alpha }$: 利用积分会使得函数更光滑的性质，以及下面的构造能保持函数的非负以及单调性,$f_{\alpha }(x):=\frac{1}{{\alpha }^2}{\int }_x^{x+\alpha }\left({\int }_t^{t+\alpha }f(s)ds\right)dt$于是$f_{\alpha }\in C^{1}0,+\infty )$,同时保持单调性和非负性。在任意闭区间$I$上一致逼近是因为:$\left|f_{\alpha }(x)-f(x)\right|\le \frac{1}{{\alpha }^2}{\int }_x^{x+\alpha }\left({\int }_t^{t+\alpha }|f(s)-f(x)|ds\right)dt$此时我们知道函数在$I$上一致连续，因此对于$\forall \epsilon >0$存在${\delta }_{\epsilon }>0\text{ s.t.}|x-s|<2{\alpha }_{\epsilon }={\delta }_{\epsilon }$使得$|f(s)-f(x)|<\epsilon$于是这里我们只需要令$\alpha ={\delta }_{\epsilon }/2$从而使得${\sup }_{x\in I}|f_{\alpha }(x)-f(x)|<\epsilon$。

1.2 利用Mollifier进行光滑化

参考1.1 让函数与Mollifier做卷积，挑选一个标准的$\mathbb{R}$上的Mollifier${\psi }_{\lambda }$与$f$做卷积，得到$\begin{array}{rl}{f}_{\lambda }(x)& :=f\ast {\psi }_{\lambda }(x)\end{array}$那么根据Mollifier的性质（参考1.1 让函数与Mollifier做卷积）：

1. $f_{\lambda }(x)$继承了$f(x)$的性质，即非负，单调。
2. $f_{\lambda }\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$。
3. 在$(0,+\infty )$的任意闭子区间上$f_{\lambda }(x)\rightrightarrows f(x),\lambda \to \infty$ 现在定义$F_{\lambda }(x):={\int }_0^x(x-2t)f_{\lambda }(t)dt$那么$F_{\lambda }\to F(x)$。于是按照第一节当中的讨论，因为$F_{\lambda }(x)$是光滑的函数，用微分能断定其凸性，而极限能保持凸性，因此极限函数也是凸的函数。