幂等变换

命题1

设$\phi$是$n(n\ge 2)$维向量空间$V$上的非零线性变换，已知$\phi$不是可逆变换，则$\phi$在$V$的某组基下的表示矩阵$A$适合$A^2=A$

证明： 一个最直接的证明思路是证明V可以被分解$Ker\phi$与$Im\phi$的直和 在这种情况下，$\phi$不能将$Im$中的元素映成$Ker$,故A可对角化 这在几何的视角看是显然的，但是用代数的语言说明并不容易 因为${\phi }^2=\phi$ 故任取$\alpha \in Ker\phi \cap Im\phi \alpha =\phi (\beta )$ 则$0=\phi (\alpha )={\phi }^2(\beta )=\phi (\beta )=\alpha$ 因此$Ker\phi \cap Im\phi =0$