外测度与测度

1.外测度的性质

性质1：单调性

if $E_1\subset E_2$ then ${\mu }^{\ast }(E_1)\le {\mu }^{\ast }(E_2)$

我们可以从测度的可数可加性出发，因为我们可以把大一点的集合表示为$E_2=E_1\cup (E_2\setminus E_1)$于是我们现在可以保证右sudo setsebool -P allow_user_vnc 1 边的两个集合互不相交，于是$\mu (E_2)=\mu (E_1)+\mu (E_2\setminus E_1)$那么大于等于的关系就很容易看出来了。

性质2：

if $E={\bigcup }_{j=1}^{\infty }{E}_j$ then ${\mu }^{\ast }(E)\le {\sum }_{j=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(E_j)$

通过不考虑交集情况来放缩外测度，如：

性质3：连续性

if $E\subset R^d$ then ${\mu }^{\ast }(E)=inf{\mu }^{\ast }(O)$

性质4：可分性

if $E=E_1\cup E_2,d(E_1,E_2)>0$ then ${\mu }^{\ast }(E)={\mu }^{\ast }(E_1)+{\mu }^{\ast }(E_2)$

性质5:可加性

if $E={\bigcup }_{j=1}^{\infty }{Q}_j$ then ${\mu }^{\ast }(E)={\sum }_{j=1}^{\infty }|Q_j|$

2.测度的性质

2.1 测度的完备化

完备测度空间的概念

一个测度空间$(X,\mathcal{F},\mu )$称为完备的，如果满足：对任意$A\in \mathcal{F}$以及所有$B\subseteq A$如果$\mu (A)=0$那么一定有$B\in \mathcal{F}$。换言之，任何零测集的子集都是可测的。

• 通常来说Borel测度空间不是完备的。

下面我们说明完备测度的概念的一个动机，同时给出一个具体的Borel测度空间但并非完备测度空间的例子。不过我们需要先搞懂，product measure的概念。

假设我们现在有两个测度空间$(X_1,{\Sigma }_1,{\mu }_1),(X_2,{\Sigma }_2,{\mu }_2)$，然后我们想要在笛卡尔集$X_1\times X_2$上建立基于这两个集合原本所在测度空间的新的测度空间，我们要怎么办？

首先我们需要建立$X_1\times X_2$上的$\sigma -$代数，其建立方式如下：${\Sigma }_1\otimes {\Sigma }_2:=\{A_1\times A_2:A_1\in {\Sigma }_1,A_2\in {\Sigma }_2\}$不难证明这是一个$\sigma -$代数。于是基于上述两个测度空间的乘积测度空间可以定义为:

乘积测度

$(X_1,{\Sigma }_1,{\mu }_1),(X_2,{\Sigma }_2,{\mu }_2)$是两个测度空间，那么基于这两个空间的一个乘积测度(product measure)${\mu }_1\times {\mu }_2$是可测空间$(X_1\times X_2,{\Sigma }_1\otimes {\Sigma }_2)$上满足${\mu }_1\times {\mu }_2(A_1\times A_2)={\mu }_1(A_1){\mu }_2(A_2),\forall A_1\in {\Sigma }_1,A_2\in {\Sigma }_2$条件的测度。

那么接下来我们可以构造一个具体的，不完备的测度空间：

例子2.2

$(\mathbb{R},\mathcal{L},m)$是Lebesgue测度空间，其中$\mathcal{L}$是实数的Lebesgue代数。现在考虑再次基础上建立的乘积测度空间$({\mathbb{R}}^2,\mathcal{L}\otimes \mathcal{L},m^2)$那么集合$[0,1]\times \{0\}$一定是$m^2$零测度的集合，因为$m^2([0,1]\times \{0\})=m([0,1])m(\{0\})=0$不过我们知道，单位闭区间$[0,1]$当中是存在不可测集合的，比如一个Vitali集$V\subset [0,1]$,可以构造子集$V\times \{0\}\subset [0,1]\times \{0\}$，但是这并不是一个$\mathcal{L}\otimes \mathcal{L}$中的元素。

2.2 测度的基本性质

测度固然是满足外测度的性质的，除此之外还满足如下性质：

性质2：次可数可加性

$E_1,\cdots ,E_n,\cdots \in \mathcal{F}$,那么$\mu \left({\bigcup }_{n\ge 1}{E}_n\right)\le {\sum }_{n\ge 1}\mu (E_n)$

这里注意，不同于测度的定义当中的”可数可加性”的性质中对元素两两互不相交的要求，这里对集合列$E_n$没有做任何要求，只要是可测即可，因此结论就被减弱了。

性质3：自下而上的连续性

$E_1,\cdots ,E_n,\cdots \in \mathcal{F}$并且是这是一列单调上升的集合列，即$E_1\subseteq E_2\subseteq \cdots \subseteq E_n\cdots$,那么这列集合的并集是可测的，并且其测度满足$\mu \left({\bigcup }_{n\ge 1}{E}_n\right)={\lim }_{n\to \infty }\mu (E_n)={\sup }_{n\ge 1}\mu (E_n)$

性质4：自上而下的连续性

$E_1,\cdots ,E_n,\cdots \in \mathcal{F}$并且是这是一列单调下降的集合列，即$\cdots \subseteq E_n\subseteq \cdots \cdots \subseteq E_2\subseteq E_1$,那么这一列集合的交集是可测的。并且如果这一列集合列当中至少有一个集合是有限测度的，那么这列集合的交集的测度满足关系$\mu \left({\bigcap }_{n\ge 1}{E}_n\right)={\lim }_{n\to \infty }\mu (E_n)={\inf }_{n\ge 1}\mu (E_n)$

2.3 测度的推论

推论1

$R^d$中的任意开集都是可测的

推论2

if${\mu }^{\ast }(E)=0$,then$E$是可测的

任取$ϵ$选取一个开集$O$,$E\subset O$,使得${\mu }^{\ast }(O)\le ϵ$ 又由单调性：$(O-E)\subset O$ 得${\mu }^{\ast }(O-E)\le {\mu }^{\ast }(O)\le ϵ$

推论3

可数个可测集的并集仍是可测的

取$E={\bigcup }_{j=1}^{\infty }{E}_j$其中$E_j$是可测的 给定一个$ϵ>0$，找到一个大集合$O$,使得$E_j\subset O_j,{\mu }^{\ast }(O_j-E_j)\le \frac{ϵ}{2^j}$ 要求$O={\bigcup }_{j=1}^{\infty }{O}_j$是开的，$E\subset O$ 由集合的大小关系和单调性： $(O-E)\subset {\bigcup }_{j=1}^{\infty }(O_j-E_j)$ ${\mu }^{\ast }(O-E)\le {\sum }_{j=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(O_j-E_j)\le ϵ$ 而选取$\frac{ϵ}{2}$恰是为了运用几何级数${\sum }_{j=1}^{\infty }\frac{ϵ}{2}=ϵ{\sum }_{j=1}^{\infty }{(\frac{1}{2})}^j=ϵ$

推论4

闭集是可测的

利用开集的补来构造闭集$E^c$，找到一个开覆盖去覆盖它：$E^c\subset O$,则$m(o-E^c)\le ϵ$ 再对$O$取补集$O^c\subset E$,则$O-E^c=E-O^c$ $m(E-O^c)\le ϵ$

推论5

可测集的补集也是可测的

找到一个开集$O_n$使得$E\subset O_n$ 要求${\mu }^{\ast }(O_n-E)\le \frac{1}{n}$, 其中$O_n^c$是闭的，这点由$O_n$的拓扑性质保证 取一个承接$O_n^c$的大集合$S$

于是又回到了单调性问题： $(E^c-S)\subset (O_n-E)$ 对任意的$n$,有$m{u}^{\ast }(E^c-S)\le \frac{1}{n}=0$

3.通过外测度构造测度

我们定义测度的动机是在不规则的集合上推广”体积，面积，长度”等概念，既然如此，现在外测度的次可加性是不够的，我们想要的是如果两个集合是不相交的，那么应该满足${\mu }^{\ast }(A\cup B)={\mu }^{\ast }(A)+{\mu }^{\ast }(B)$甚至是满足可数可加性，如果$A_1,\cdots ,A_i,\cdots$，其中两两不相交，那么${\mu }^{\ast }\left({\bigcup }_{i\ge 1}{A}_i\right)={\sum }_{i\ge 1}{\mu }^{\ast }(A_i)$然而如果我们考虑选择公理，那么$P(X)$当中会有一些元素并不满足我们想要的性质，因此我们需要把那些能满足这样的好的性质的集合给筛选出来，这种被筛选出来的性质更好的集合称之为$\mu -$可测集。

4.消失的内测度

当我们在通过外测度构造测度的时候，考虑到外测度是不断迭代得到测度的，而他存在一个最大的下界，这个下界就是测度。那么我们能否类似的构造出一个不断迭代，有最小上界的结构呢，如果能他就应该等于外测度等于测度。 实际上是存在的： 对于一个集合 $A\subset X$，其内测度 ${\mu }_{\ast }(A)$ 通常定义为所有包含在 $A$ 中的可测集的测度 的上确界 。 形式上，如果 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是一个测度空间，对于任意集合 $A\subset X$，其内测度定义为： ${\mu }_{\ast }(A)=\sup \{\mu (E):E\in \mathcal{M},E\subset A\}$ 其中 $\mathcal{M}$ 是 $\sigma$-代数，$\mu$ 是其上的测度。 然而，在通过外测度构造测度的语境下，我们通常还没有一个已知的测度 $\mu$。因此，更常见的内测度定义是基于外测度 ${\mu }^{\ast }$。 对于一个集合 $A\subset X$，其内测度 ${\mu }_{\ast }(A)$ 可以定义为： ${\mu }_{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(X)-{\mu }^{\ast }(X\setminus A)$ 或者，如果 $X$ 的外测度是有限的，则： ${\mu }_{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(A)-{\mu }^{\ast }(A\setminus E)$ 其中 $E$ 是某个可测集。

更一般地，对于一个外测度 ${\mu }^{\ast }$，一个集合 $A$ 的内测度 ${\mu }_{\ast }(A)$ 可以定义为： ${\mu }_{\ast }(A)=\sup \{{\mu }^{\ast }(K):K\subset A,K\text{ is compact}\}$

实际上，这种性质类似于外测度的性质推论4，因此一般不谈内测度。