数域K上的多项式理论

问题1

设 $f(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，若当 $k=0,1,\dots ,n$时有$f(x)=\frac{k}{k+1}$求$f(n+1)$

令 $g(x)=(x+1)f(x)-x$ ，则$0,10\dots ,n$是$g(x)$的根，因此

即

其中c是一个常数．令 $x=-1$ ，可求出 $c=\frac{(-1{)}^{n+1}}{(n+1)!}$ ，从而

当 $n$ 是奇数时，$f(n+1)=1$ ；当 $n$ 是偶数时，$f(n+1)=\frac{n}{n+2}$ ．$\square$

问题2

$f(x)g(x)$是互素多显示，A是K上的n阶方阵，$f(A)=0$ 求证$g(x)$可逆

$f(A)v(A)+g(A)u(A)=1$ $g(A)v(A)=1$ $g^{-1}(A)=u(A)$

问题3

已知$f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$不可约， $\phi$是k上的线性变换，$a_1\ne 0$ $\phi ({\alpha }_1)={\alpha }_2,\phi ({\alpha }_2)={\alpha }_3,\dots ,\phi ({\alpha }_n)=-{\alpha }_n{\alpha }_1-{\alpha }_{n-1}{\alpha }_2-\cdots -{\alpha }_1{\alpha }_n$ 证{${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$}是V的一组基

证是一组等价于证线性无关 应用反证法：存在n个不全为0的数使得$c_1{\alpha }_1+a_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n=0$ 将$\phi$作用于上式，则$c_1{I}_v+c_2\phi +\cdots +c_n{\phi }^{n-1}{\alpha }_1=0$ 设$g(x)=c_1{I}_v+c_2\phi +\cdots +c_n{\phi }^{n-1}{\alpha }_1$ 因为$g(x)\ne 0$,$g(\phi ){\alpha }_1=0$又有$f(\phi ){\alpha }_1=0$ 则$f(x)$不可约且$g(x)\ne 0$的次数小于n 故$f(\phi )v(\phi )+g(\phi )u(\phi )=I_v$ 两边同时乘以${\alpha }_1$ ${\alpha }_1={\alpha }_{1}f(\phi )v(\phi )+{\alpha }_{1}g(\phi )u(\phi )=0$ 与${\alpha }_1\ne 0$矛盾，$\square$