完全特征向量系

命题1

设 $m$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $n$ 阶矩阵 $B$ 没有公共的特征值，且 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均可对角化，又 $C$ 为 $m\times n$ 矩阵，则$M=\left(\begin{array}{ll}A& C\\ O& B\end{array}\right)$ 也可对角化是它的充要条件．

先证必要性： 任取 $A$ 的特征值 ${\lambda }_0$ ，记其代数重数为 $m_A\left({\lambda }_0\right)$ ，几何重数为 $t_A\left({\lambda }_0\right)$ ．首先注意到 $A,B$ 没有公共的特征值，故 ${\lambda }_0$ 不是 $B$ 的特征值，又 $|\lambda I-M|=\mid \lambda I$－ $A||\lambda I-B|$ ，从而 $m_M\left({\lambda }_0\right)=m_A\left({\lambda }_0\right)$ ．由于 ${\lambda }_{0}I-B$ 是非异阵，故有如下分块矩阵的初等变换：

因为矩阵的秩在分块初等变换下不变，故由矩阵秩的等式可得

于是 $t_M\left({\lambda }_0\right)=(m+n)-r\left({\lambda }_{0}I-M\right)=m-\mathrm{r}\left({\lambda }_{0}I-A\right)=t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ ． 因为 $A$ 可对角化，所以 $A$ 有完全的特征向量系，从而 $m_A\left({\lambda }_0\right)=t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ ，于是 $m_M\left({\lambda }_0\right)=t_M\left({\lambda }_0\right)$ ． 同理可证，对 $B$ 的任一特征值 ${\mu }_0$ ，成立 $m_M\left({\mu }_0\right)=t_M\left({\mu }_0\right)$ ． 因此 $M$ 有完全的特佂向量系，从而可对角化。

下证充分性： 任取 $M$ 的特征值 ${\lambda }_0$ ，由 $|\lambda I-M|=$ $|\lambda I-A|\lambda I-B\mid$ 可得 $m_M\left({\lambda }_0\right)=m_A\left({\lambda }_0\right)+m_B\left({\lambda }_0\right)$ ． 考虑如下分块矩阵：

由矩阵秩的不等式：

可得 $t_M\left({\lambda }_0\right)=(m+n)-\mathrm{r}\left({\lambda }_{0}I-M\right)\le \left(m-\mathrm{r}\left({\lambda }_{0}I-A\right)\right)+\left(n-\mathrm{r}\left({\lambda }_{0}I-B\right)\right)=$ $t_A\left({\lambda }_0\right)+t_B\left({\lambda }_0\right)$ ． 由于几何重数总是小于等于代数重数，故有

因为 $M$ 可对角化，所以 $M$ 有完全的特征向量系，从而 $t_M\left({\lambda }_0\right)=m_M\left({\lambda }_0\right)$ ，再由上述不等式可得 $t_A\left({\lambda }_0\right)=m_A\left({\lambda }_0\right),t_B\left({\lambda }_0\right)=m_B\left({\lambda }_0\right)$ ． 由 ${\lambda }_0$ 的任意性即知，$A,B$ 均有完全的特征向量系，从而均可对角化．