可积未必有界

Tip

一个函数可以是处处稠密地无界的，勒贝格积分并不控制函数的逐点界，只控制其“平均”大小。

取有理数集 $\mathbb{Q}$ 的一个固定枚举 ${r_n}_{n=1}^{\infty }$，定义

上式所定义的级数对几乎处处的 $x\in \mathbb{R}$收敛，该级数在任意区间上都是无界的。 设 $\tilde{F}$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，且 $\tilde{F}(x)=F(x)$ 几乎处处成立。 假设 $\tilde{F}$ 在某个非空开区间 $I$ 上有界，即存在常数 $M>0$，使得对于所有的 $x\in I$，都有 $|\tilde{F}(x)|\le M$ 由于 $\mathbb{Q}$ 的稠密性，存在 $r_k\in I$。 考虑 $F$ 的第 $k$ 项。我们需要找到 $F(x)$ 显著大于 $M$ 的区域。 对于 $x>r_k$，若要 $2^{-k}(x-r_k{)}^{-1/2}>M$，只需：

令 $\delta =\min \left(\text{length}(I),\frac{1}{(2^{k}M{)}^2},1\right)$。 考虑区间 $J=(r_k,r_k+\delta )\cap I$。这是一个非空开区间，其勒贝格测度 $m(J)>0$。 对于任意 $x\in J$，我们有：

即在集合 $J$ 上，$F(x)>M$。 因为 $\tilde{F}=F$ 几乎处处成立，所以在 $J$ 上 $\tilde{F}(x)=F(x)>M$ 几乎处处成立。 这意味着集合 $\{x\in I:\tilde{F}(x)>M\}$ 包含 $J$ 除去一个零测集，其测度仍为 $m(J)>0$。 特别地，该集合非空。这与假设“对于所有的 $x\in I$，$\tilde{F}(x)\le M$”矛盾。