特征值估计

定理一：第一圆盘定理（Gerschgorin定理）

$A=(a_{ij})$是n阶矩阵，则A的所有特征值都在复平面的下列圆盘中$|z-a_{ij}|\le R_i,1\le i\le n$ 其中$R_i=|a_{i1}|+\cdots +|a_{i,j-1}|+|a_{i,j+1}|+\cdots +|a_{in}|$

注意选择不同的R”展开元“进行估计提高精确度

定理 二：第二圆盘定理

若n阶矩阵A的n个圆盘分为若干个连通区域，其中某连通区域恰有k个圆盘覆盖，则有k个特征值落在这个连通区间中（重合计算重数）

例题 1

给定矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 7\\ 2& 5& 3& 6\\ 4& 1& 3& 2\\ 5& 1& 1& 2\end{array}\right)$$

估计特征值分布情况。

由第一圆盘定理： $|z-1|\le 14,|z-3|\le 7,|z-5|\le 11,|z-2|\le 7$ 可得特征值落在 $[-13,15]\cup [-6,16]\cup [-4,10]\cup [-5,9]$ 重复第一圆盘定理，对列展开能精确结果，下面结合第二圆盘定理精确： $[-13,-4]$可能存在0个或1个根 $[-1,9]$至少存在3个根 $[9,16]$可能存在一个根

问题2：伯克利问题

矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 5& 1& 0\\ 5& 0& 5& 0\\ 1& 5& 0& 5\\ 0& 0& 5& 0\end{array}\right)$一共有几个正特征?

这里我们用这个例子展示如何按照问题的要求寻找合适的工具，以及对应的具体做法。当然也顺便展示一下有关问题所涉及的工具。

问题并非是求特征值，而应该归类为“确定特征值的分布范围”。矩阵$A$是一个实对称矩阵，因此特征值都是实数，所以我们的问题的精度只要求是判断特征值相对于0的位置。

下面我们按照精度，以及使用工具付出的计算的代价来从高到低排列做法。

1. 最为暴力的做法，直接算出来

首先可以直接通过$P_A(t):=\det (A-tI)$计算出矩阵的特征多项式，得到一个四次的方程$t^4-76t^2-50t+625=0$下面我们需要判断方程的四个实根的关于0的位置。

我们可以通过数值方法直接求出来方程的根，从而确定根的位置的分布，这四个根分别为:$t_1\approx -7.6724,t_2\approx -3.56137,t_3\approx 2.67138,t_4\approx 8.56239$因此可以得到结果，一共有两个正根。

不过这种方法虽然最为直接，但是付出的成本也是最大，因为我们给出的关于根的精度的分布相当于是半径为$10^{-5}$的误差的特征值的分布，而原来的问题并不需要这么高的精度。

2. Gershgorin圆盘定理能否确定呢？

但是我们很快发现，虽然我们可以非常轻易确定我们这个问题当中的矩阵$A$的所有4个Gershgorin圆盘，然而这些圆盘因为都是以对角线元素为圆心的，因此无论$R_i$给出的估计多么精确，我们实际上都无法通过上面的结论确定特征值相对于0的位置分布。

3. 笛卡尔方法 + 维达定理

首先如同方法1，我们依旧是先得到特征多项式$P_A(t)=t^4-76t^2-50t+625$不过我们不同于方法1，这里不去计算根的精确的值，而是通过笛卡尔方法来确定正根的大致个数的可能取值。

笛卡尔方法可以以比较小的代价得到关于方程根的正负情况的信息，看起来会比较适合我们当前的需求。

Descard's rule of signs,

$p(x)$是一个单变量实系数多项式，用$\text{sign}(p)$表示多项式的所有非零系数由高次项系数到低次项系数排列中间变了多少次正负号。那么$p(x)$的正根数量要么为$\text{sign}(p)$要么等于$\text{sign}(p)-d$,其中$d$是一个小于等于$\text{sign}(p)$的非负偶数。

• 如果我们想要确定负根的数量，那么可以考虑对$p(-x)$使用上述的方法。

对于本问题的多项式的非零系数由高次到低次排列依次是:$1,-76,-50,625$因此我们不难计算出，$\text{sign}(P_A)=2$这意味着，我们的方程要么有两个正根，要么没有正根。所以到底是有没有呢，这个时候我们只需要借用维达定理，因为方程的四个实根的乘积为$-625<0$,因此方程必然是有正根的。

因此矩阵有两个正特征。

4. 计算迹与行列式

行列式$\det (A)$实际上是特征多项式最低次数，而矩阵的迹$\text{trace}(A)$实际上是多项式第二高次项系数。我们不去计算矩阵的特征多项式的全部系数，而是通过一些计算得到其中一部分的系数，然后由维达定理，我们知道:

1. $t_1+t_2+t_3+t_4=0$
2. $t_1{t}_2{t}_3{t}_4=625>0$

首先第一条告诉我们，根不可能都是正根。所以矩阵$A$不能有4个正根，正根数量只能是$3,2,1,0$当中一种。

其次根的乘积是正的，因此不可能有0根，以及正根与负根的数目必须一样，因此只有一种可能性，有两个正根。