Riesz表示定理

定理

希尔伯特空间$\mathcal{H}$上的一个连续线性算子，存在唯一$g$满足$\ell (f)=(f,g)$，其中$||\ell ||=||g||$

我们在$\mathcal{H}$的子空间上考虑这个问题，取$\mathcal{S}=\{f:\ell (f)=0\}$如果这个子空间等于$\mathcal{H}$本身那么易证，若不然我们取$h\in {\mathcal{S}}^{\perp }$,要求$h$标准的.

我们先来验证$\ell (f)=(f,g)$：

直接取一个$u=\ell (f)h-f\ell (h)$ 这样用$\ell$作用于它就等于0，那么他就属于$\mathcal{S}$与$h$正交，这样一来我们把$u$和$h$的内积拆开来$\ell (f)(h,h)-\ell (h)(f,h)=0$ 因为$h$是标准的，那么我们整理一下就有$\ell (f)=\ell (h)(f,h)=(f,\overline{\ell (h)}h)$ 我们把$\overline{\ell (h)}h$记作$g$，那么$\ell (f)=(f,g)$ 接下来证$||\ell ||=||g||$：

首先根据柯西-施瓦茨不等式有$|\ell (f)|=|(f,g)|\le ||f||||g||$ 我们对左右两边同时除以$||f||$,左边再取上极限得 $||\ell ||\le ||g||$

另一方面上确界又给出了$|\ell |$的另一侧估计：我们取$f=g$则有 $||\ell ||\ge \frac{|\ell (g)|}{||g||}=||g||$ 得证。