非负序列差分的约束条件导致序列收敛

命题1

假设$x_n$是一列非负序列并且对任意$n\ge 1$满足不等式:$x_{n+1}\le x_n+\frac{1}{n^2}$ 那么序列的极限存在。

从条件可知$\Delta x_k\le \frac{1}{k^2}$那么序列存在极限。根据序列差分的估计蕴含着序列本身的估计“想法1”，我们把差分的上界信息转换为序列的上界估计，于是$x_n\le x_m+{\sum }_{m\le k\le n-1}\frac{1}{k^2}$而由于$\frac{1}{k^2}$的和是有限。于是$0\le x_n\le x_1+{\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}$是一个有界序列。于是该序列的上极限$U$下极限$L$都是有限的。此外对于任意$\epsilon >0$，存在$N_{\epsilon }$只要$m>N_{\epsilon }$那么$x_n<x_m+\epsilon$而如果我们分别对$n,m$取上下极限，那么我们就会得到序列的上极限$U$与序列的下极限$L$的不等式$U\le L+\epsilon$结合$U\ge L$这意味着$U=L$从而极限存在。

这个结果还可以推广为：

命题2

假设$x_n$是一列有下界的序列并且对任意$n\ge 1$满足不等式:$x_{n+1}\le x_n+y_n$并且级数${\sum }_n{y}_n$是收敛的，那么序列的极限存在。

• 这里推广的时候把$x_n$的非负性转换为存在下界，假设为$a$。那么在进行证明的时候，我们得到的是$a\le x_n\le x_1+{\sum }_{k\ge 1}{y}_k$这样便也能证明序列的有界性，从而结合序列上下极限相等的条件，得到极限存在。