判断一个类交错级数的收敛性

问题1

判断级数${\sum }_{n\ge 2}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}$的收敛性。

1. 逐项估计

初步想法

令$f(n):=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}$,尝试用Taylor展开对函数做渐近分析，然后看看精度是否足以达到能判断收敛的程度。

简单来说我们可以利用$\frac{x}{1+x}$在$x=0$附近的Taylor展开，从而得到$f(n)$的渐近展开，最后再给出${\sum }_{2\le n\le N}f(n)$的渐近展开。

因为$\frac{x}{1+x}=x-x^2+O(x^3)$，而$\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\to 0$,于是$f(n)=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$并且当$n$足够大的时候，$|\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}|<c<1$于是我们可以对这个结果求和，于是得到：$S_N={\sum }_{2\le n\le N}f(n)={\sum }_{2\le n\le N}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}-{\sum }_{2\le n\le N}\frac{1}{n}+O\left({\sum }_{2\le n\le N}\frac{1}{n^{3/2}}\right)$ 我们仔细分析这个结果:

1. 因为级数${\sum }_{n\ge 2}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$是收敛的级数，这一点由Leibniz收敛判断可以直接得到。因此我们至少可以得到${\sum }_{2\le n\le N}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}=O(1)$
2. 其次最后余项中的级数${\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n^{3/2}}$也是收敛的，因为$3/2>1$,于是最后的余项$O\left({\sum }_{2\le n\le N}\frac{1}{n^{3/2}}\right)=O(1)$。
3. 中间的项目实际上就是调和数$-H_N+1$,这关于$N$是无界的。 综上所述，此级数的部分和的渐近还可以表达为:$S_N=-H_N+O(1)$即$-H_N$加上一个有界的对象，那么显然部分和是无界的，因此级数发散。

2. 更精确的结果

我们也可以尝试分母有理化得到结果：

$\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}=\frac{(-1{)}^n(\sqrt{n}-(-1{)}^n)}{n-1}=\frac{(-1{)}^n\sqrt{n}}{n-1}-\frac{1}{n-1}$

因此令$S_N={\sum }_{n=2}^N\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}$,则对$S_N=A_N-H_{N-1}$考虑极限情况：$\frac{\sqrt{n}}{n-1}\to 0$

此时函数在 (x>1) 上单调递减，所以由 Leibniz 判别法，前一项收敛。并且交错级数余项满足$A_N=A+O\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)$

另一方面，

可以得到与之前同样的结果。