体现积分估计相较于和的估计优势的一个问题

问题0

求极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=2}^n{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}k}}$

转换为估计问题：我们要对$S_n:=n+{\sum }_{k=3}^n{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}k}}$做估计，要求估计精度为$o(n)$。

1. 和的简单积分估计+分段估计

对于固定的$n$而言,函数$f(x):=n^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}$在区间$[3,n]$上单调减少，因此由1. 和的简单积分估计有$\begin{array}{rl}\sum _{k=3}^n{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}k}}& ={\int }_3^n{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}dx+O(n^{\frac{1}{{\log }_{2}3}}+n^{\frac{1}{{\log }_{2}n}})\\ & ={\int }_3^n{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}dx+o(n)\end{array}$因此我们现在的目标变成估计$I_n:={\int }_3^n{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}dx$精度要求依旧是$o(n)$。

• 积分估计相较于和的估计有什么特别的优势吗？否则为什么我们要把和的估计转换为积分的估计？因为积分估计可以进行变量替换，从而把难以估计的积分转换为容易估计的积分。下面的证明就能很好地体现这一点，当我们换元以后，我们就可以用简单的分段估计完成对积分的估计，这在换元之前是做不到的。

无论我们对原本离散的和，还是现在连续的积分的被求和/积分对象$n^{1/\log (x)}$做Taylor展开，我们都会遇到余项难以处理的问题。但是通过对积分做变量替换，这个问题可以被化解掉。

考虑变量替换$x=n{e}^{-t}$，其中$t\in [0,\log (n)-\log (3)]$。于是$dx=-n{e}^{-t}dt,{\log }_{2}x={\log }_{2}n-\frac{t}{\log (2)}$于是$\begin{array}{rl}{n}^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}& =2^{\frac{1}{1-\frac{t}{\log (n)}}}\\ & =2+O\left(\frac{t}{\log (n)}\right)\end{array}$此处需要$\frac{t}{\log (n)}<c<1$才能成立，因此分段估计是必要的。不妨分为两段：

1. 第一段$t\in J_1:=[0,\frac{1}{2}\log (n)-\frac{1}{2}\log (3)]$，于是$\frac{t}{\log (n)}<\frac{1}{2}$因此有$n^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}=2+O\left(\frac{t}{\log (n)}\right)$于是这一段的积分为$\begin{array}{rl}{I}_1& ={\int }_{t\in J_1}\left(2+O\left(\frac{t}{\log (n)}\right)\right)(n{e}^{-t})dt\\ & =2n(1+O(1/\sqrt{n}))+O\left(\frac{n}{\log (n)}\right)\\ & =2n+O\left(\frac{n}{\log (n)}\right)\\ & =2n+o(n)\end{array}$
2. 第二段$t\in J_2:=[\frac{1}{2}\log (n)-\frac{1}{2}\log (3),\log (n)-\log (3)]$这一段的被求和函数还可以写成$n^{\frac{1}{{\log }_{2}x}}n{e}^{-t}=\exp (F_n(t))$其中$F_n(t)=\frac{\log (2)}{1-\frac{t}{\log (n)}}+\log (n)-t$这个函数在$J_2$区间上先减少后增加，因此其最大值在端点取得。我们可以证明当n足够大的时候，最大值在区间右端点取得（即右端点的取值比左端点要大），此时的值为$\log (3)+\frac{\log (2)}{\log (3)}\log (n)$于是我们对积分做逐项估计，得到$\begin{array}{rl}|I_2|& \le \exp \left[\log (3)+\frac{\log (2)}{\log (3)}\log (n)\right]\times \frac{1}{2}\log (n)\\ & =O(n^{\frac{\log (2)}{\log (3)}}\log (n))\\ & =o(n)\end{array}$此外这里也能看出，求和指标从$3$开始是明智的选择。 综上所述$I=2n+o(n)$从而$\begin{array}{rl}{S}_n& =n+(2n+o(n))+o(n)\\ & =3n+o(n)\end{array}$