Note

若 $(a, b) ∣ c$ ，则存在两个整数 $s, t$ 满足 $a s + b t = (a, b)$

定理1

设二元一次不定方程 $a x + b y = c$ 有一整数解 $x = x_{0}, y = y_{0}$ 则方程的一切解都可表出 $x = x_{0} - b_{1} t y = y_{0} + a_{1} t$ 其中 $(a, b) = d, a = a_{1} d, b = b_{1} d$ ， $t$ 为整数

随后，求解不定方程问题将变为求解方程的一个特殊解问题

例 1

求 $107 x + 37 y = 25$ 的一切整数解

由给定的方程得

y = \frac{25 - 107 x}{37} = - 2 x + \frac{25 - 33 x}{37} = - 2 x + y^{'},

其中 $y^{'} = \frac{25 - 33 x}{37}$ 是整数，故得一新的不定方程

37 y^{'} + 33 x = 25 .

又

x = \frac{25 - 37 y ^{'}}{33} = - y^{'} + \frac{25 - 4 y ^{'}}{33} = - y^{'} + x^{'},

其中 $x^{'} = \frac{25 - 4 y ^{'}}{33}$ ，又得到一个新的不定方程

33 x^{'} + 4 y^{'} = 25.

又

y^{'} = \frac{25 - 33 x ^{'}}{4} = 6 - 8 x^{'} + \frac{1 - x ^{'}}{4} = 6 - 8 x^{'} + y^{''},

其中 $y^{''} = \frac{1 - x ^{'}}{4}$ ，即最后得到

x^{'} + 4 y^{''} = 1.

显然t他的一切解是

x^{'} = 1 - 4 t, y^{''} = t (t = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) .

因此回推给定的不定方程的解是

x = 3 - 37 t, y = - 2 x + y^{'} = - 8 + 107 t (t = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) .

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