层切糕

这是fubini定理的一个核心运用，参考Fubini-Tonelli定理

Question

$f$是可积的，对于任意$\alpha >0$,令$E_{\alpha }=\{x:|f(x)>\alpha |\}$ 有${\int }_{R^d}|f(x)|dx={\int }_0^{\infty }m(E_{\alpha })d\alpha$

最重要的是对$|f(x)|$的阐述，因为是可积的，所有可以表示成积分的形式 对每个固定 (x)，有恒等式：

但 $1=1_{\alpha <|f(x)|}$，所以

右侧是非负函数，可用 Tonelli/Fubini：