函数与函数微分比值的极限

命题1

定义在$(a,b)$上的实$f(x)$可微，其微分满足极限${\lim }_{x\to a^{+}}{f}^{\prime }(x)=-\infty$且微分在$(a,b)$上单调增加，那么${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=0$

初步的想法

我们无非要对函数$F(x):=\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$做估计，精度为$o(1)$。现在我们已经知道在$f^{\prime }(x)$的渐近行为，我们需要用知道$f(x)$的渐近行为。然而此处$f$在$a$处未必有定义，并且$f^{\prime }(a)=-\infty$所以我们不打算直接用微分的定义或者微积分基本定理，而是退而求其次，考虑自变量非常靠近$a$的时有定义的函数的微分行为。具体来说就是考虑$a$附近的$x,y$,然后$f(x)=f(y)+f^{\prime }(c_{x,y})(x-y)+o(x-y)$然后再利用$f^{\prime }$在靠近$a$处的渐近行为以及单调性去估计$F(x)$。

对于给定的$M>0$,存在$\delta$使得当$x\in (a,a+\delta )$的时候$f^{\prime }(x)<-M$那么由于函数的单调性，对任意足够小的$r>0$满足$r<\delta$都有当$x\in (a,a+r)$的时候$f^{\prime }(x)<-M<0$。此外其绝对值$|f^{\prime }(x)|$在此区间上等于$-f^{\prime }(x)$是一个单调减少的函数。于是我们有：$\begin{array}{rl}|F(x)|& \le \left|\frac{f(x)-f(a+r)}{f^{\prime }(x)}\right|+\left|\frac{f(a+r)}{f^{\prime }(x)}\right|\\ & \le \left|\frac{f^{\prime }(c_{x,r})}{f^{\prime }(x)}\right|(a+r-x)+\left|\frac{f(a+r)}{f^{\prime }(x)}\right|\\ & \le \left|\frac{f^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}\right|(a+r-x)+\left|\frac{f(a+r)}{f^{\prime }(x)}\right|\\ & =(a+r-x)+\left|\frac{f(a+r)}{f^{\prime }(x)}\right|\end{array}$ 两边取上极限，于是得到${\mathrm{limsup}}_{x\to a^{+}}|F(x)|\le r$对任意足够小的$r$成立，那么${\lim }_{x\to a^{+}}F(x)=0$