Carleman不等式

1. 非负序列和的Carleman不等式

Carleman不等式(Carleman 1923)

$a_n$是一列非负实序列，令$G_n:=({\prod }_{k=1}^n{a}_k{)}^{1/n}$为此序列的几何平均值序列。如果$a_n$组成的级数${\sum }_{k\ge 1}{a}_k$收敛，那么$G_n$组成的级数${\sum }_{n\ge 1}{G}_n$也收敛并且被${\sum }_{k\ge 1}{a}_k$控制起来：${\sum }_{n\ge 1}{G}_n<e{\sum }_{k\ge 1}{a}_k$其中$e$是自然底数。

1.1 不等式的证明

我们本质上想要得到${\sum }_n{G}_n$这个和的一个上界估计，整个估计采用的方法是逐项估计。这里我们借助Power mean及其性质当中的符号来阐述这里的逐项估计思路。

按照Power mean及其性质中的记号，$G_n=M_0(a_1,\cdots ,a_n)$，这种权重为1的几何平均值可以被$M_1(a_1,2a_2,\cdots ,n{a}_n)$控制起来，因为$M_0(a_1,\cdots ,a_n)=(n!{)}^{-\frac{1}{n}}{M}_0(a_1,2a_2,\cdots ,n{a}_n)\le (n!{)}^{-\frac{1}{n}}{M}_1(a_1,2a_2,\cdots ,n{a}_n)$ 然后利用4.不等式关系,我们可以把系数$(n!{)}^{-\frac{1}{n}}$做一个放缩得到一个更简单的上界：$(n!{)}^{-\frac{1}{n}}=[(\sqrt{2\pi n}{)}^{-1/n}{e}^{-\frac{r_n}{n}}]\frac{e}{n}<\frac{e}{n+1}$其中$\frac{1}{12n+1}<r_n<\frac{1}{12n}$。

• 这里一个较为粗糙的放缩是$(n!{)}^{-\frac{1}{n}}<\frac{e}{n}$。如果采用这样精度的放缩，那么后面在进行逐项估计的时候误差会达不到我们想要的结果。具体体现在，如果用上面的$\frac{e}{n+1}$作为上界，那么最后我们会得到${\sum }_{n\ge k}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{k}$这恰好满足Carleman不等式的要求。但如果是$\frac{e}{n}$作为上界，那么由于${\sum }_{n\ge k}\frac{1}{n^2}>\frac{1}{k}$最后则不能得到Carleman不等式的结果。

现在我们得到$M_0(a_1,\cdots ,a_n)<\frac{e}{n+1}{M}_1(a_1,2a_2,\cdots ,n{a}_n)$按照求和以及$G_n$的定义写出来就是$G_n<\frac{e}{n(n+1)}{\sum }_{k=1}^{n}k{a}_k$从而${\sum }_{n=1}^N{G}_n<{\sum }_{n=1}^N\frac{e}{n(n+1)}{\sum }_{1\le k\le n}k{a}_k$但是这样的上界还不是最简单的，我们还可对上界做进一步化简。首先我们交换求和次序$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N\frac{e}{n^2}\sum _{1\le k\le n}k{a}_k& =e\sum _{n\le N}\sum _{k\le N}{1}_{k\le n}\frac{1}{n(n+1)}k{a}_k\\ & =e\sum _{k\le N}\sum _{n\le N}{1}_{k\le n}\frac{1}{n(n+1)}k{a}_k\\ & =e\sum _{k\le N}k{a}_k\sum _{k\le n\le N}\frac{1}{n(n+1)}\\ & =e\sum _{k\le N}k{a}_k\sum _{k\le n\le N}\frac{1}{n(n+1)}\\ & <e\sum _{k\le N}k{a}_k\sum _{k\le n}\frac{1}{n(n+1)}\\ & =e\sum _{k\le N}{a}_k\end{array}$因此${\sum }_{n\le N}{G}_n<e{\sum }_{k\le N}{a}_k$如果$a_k$组成的级数收敛，那么两边取极限便得到${\sum }_{n\ge 1}{G}_n\le e{\sum }_{k\ge 1}{a}_k$然而在${\sum }_k{a}_k$收敛的情况下上面不等式不能取等，因为等式成立需要$a_k=\frac{C}{k}$，但倘若$a_k$具有这种形式其对应的级数不可能收敛。因此${\sum }_{n\ge 1}{G}_n<e{\sum }_{k\ge 1}{a}_k$

1.2 一些典型的应用

命题1.2.1

对于正实数序列$a_n$，如果级数${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}$收敛，那么级数${\sum }_{n\ge 1}{\left(\frac{n}{a_1+\cdots +a_n}\right)}^p,p\ge 1$也是收敛的。

• 令$b_n:=\frac{1}{a_n}$那么我们就是要用${\sum }_n{b}_n$控制目标的级数，不过Carleman不等式控制的是序列的几何平均值的和，而目标的和是关于$b_n$的调和平均值。这里与Carleman不等式的联系基于Power mean及其性质，因为${\left(\frac{n}{a_1+\cdots +a_n}\right)}^p=M_{-1}(b_1,\cdots ,b_n{)}^p\le M_0(b_1,\cdots ,b_n{)}^p$令$G_n:=M_0(b_1,\cdots ,b_n)$根据条件以及Carleman不等式，于是我们知道${\sum }_{n\ge 1}{G}_n$是收敛的，因此$G_n\to 0$。因此对于足够大的$n$,$G_n^p\le G_n$于是${\sum }_n{G}_n^p$也是收敛的，于是${\sum }_{n\ge 1}{\left(\frac{n}{a_1+\cdots +a_n}\right)}^p\le {\sum }_{n\ge 1}{G}_n^p<\infty$
• 这个不等式其中$p=1$才是关键。因为如果$p>1$，令$A_n:={\sum }_{k\le n}{a}_k,S_n:={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{a_k}\to S$。那么柯西不等式告诉我们$A_n{S}_n\ge n^2$于是$F_n:=\frac{n}{A_n}\le \frac{S_n}{n}\le \frac{S}{n}$所以${\sum }_n{F}_n^p\le S^p{\sum }_n\frac{1}{n^p}$因此只要$p>1$后者当然是收敛的，关键在于$p=1$的情况。