问题

证明 $f (x) = \int_{0}^{x} e^{- y^{2}} sin (y) d y > 0$ 对任意 $x > 0$ 成立。

首先求函数的导数，发现函数并非单调，因为 $f^{'} (x) = e^{- x^{2}} sin (x)$ 是震荡的，不断变换正负号的。

对于任意的 $x \in R^{+}$ ,那么存在一个非负整数 $k$ 使得 $x \in [2 k π, 2 (k + 1) π]$ .然后因为函数 $f (x)$ 在此闭区间内存在最小值，那么其实我们只需要证明这个最小值是为正的即可。而最小值只有可能在此区间的两端点，或者局部极小值处取到。

于是我们只需要证明：

命题1

对于任意的非负整数 $m$ ， $f (mπ)$ 为正。

注意到被积分的部分当中有周期函数，为了尽可能地让估计更为精确，这里采用分段估计，每一段就是 $sin (x)$ 的周期。

若 $m = 2 k + 1$ ,那么因为 $f ((2 k + 1) π) = \int_{0}^{2 k π} e^{- y^{2}} sin (y) d y + \int_{2 k π}^{2 k π + π} e^{- y^{2}} sin (y) d y \geq f (2 k π)$ 所以我们只需要证明 $m = 2 k$ 这种偶数的情况为正数即可。 $f (2 k π) = \int_{0}^{2 k π} e^{- y^{2}} sin (y) d y = r = 0 \sum k - 1 \int_{2 r π}^{2 (r + 1) π} e^{- y^{2}} sin (y) d y = r = 0 \sum k - 1 \int_{0}^{2 π} e^{- (2 r π + t)^{2}} sin (t) d t = \int_{0}^{2 π} r = 0 \sum k - 1 e^{- (2 r π + t)^{2}} sin (t) d t = \int_{0}^{π} r = 0 \sum k - 1 (e^{- (2 r π + t)^{2}} - e^{- (2 r π + π + t)^{2}}) sin (t) d t$ 这里最后一步我们利用 $sin (x)$ 在一个周期内的对称性，制造了一个差出来，最后发现求和当中 $e^{- (2 r π + t)^{2}} - e^{- (2 r π + π + t)^{2}} > 0$ ,因此 $f (2 k π) > 0$ .

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