问题0
序列满足以及递归式证明序列的极限存在并且为。
下面是关于序列的一些基本信息：
- 首先序列是有界的。令此时,现在假设对应的序列都是满足这个上界的，那么由于从而由归纳法，这对于都成立。
- 递归过程中的不动点就是最终需要证明的极限。因为如果极限存在那么，极限就是方程的解，那么要么要么。这里我们需要证明的一个下界。首先，因为初值都是4,那么序列恒等于4。然后假设假设对应的序列都是满足这个下界，那么因此由归纳法，对于都有。
接下来由于我们的经验，对于这种递归序列除非单调性较为明显，否则单调性的论证未必会比极限存在性更容易。因此此处我们考虑构造上下极限的不等式来解决问题。
假设序列的上极限为。根据序列是正实数列，以及有界性此外还有函数在开区间上的连续性，单调性我们知道是满足下列不等式的正实数因此我们得到。同样的道理假设序列的下极限为，那么是一个满足下列不等式的正实数于是。那么由于于是序列极限存在并且为4。
问题1
序列满足以及递归式证明序列的极限存在并且为。
- 首先，由以及递归式可知，对于所有都有。
- 接下来证明序列存在一个正下界并且有上界。令充分大，并且令。具体而言，我们可以取
现在假设都落在区间中。由于函数在上单调递减，因此介于和之间，也就是仍然落在中。于是由归纳法，对于所有都有。所以序列有界，并且存在严格为正的下界。
接下来由于我们的经验，对于这种递归序列，单调性通常并不明显，因此此处仍然考虑构造上下极限的不等式来解决问题。
假设序列的上极限和下极限分别为和。根据序列的有界性以及正下界，我们知道。又因为函数在上连续且单调递减，所以取倒数会交换上下极限。利用上下极限对于加法的不等式，可以得到
因此。但是这只能说明上下极限的乘积为，还不能直接说明，所以接下来需要排除的情况。
反设。根据上极限的定义，可以选取一个子列使得。由于序列有界，可以继续选取子列，使得，，其中。对递推式取极限，由以及可得
因此这里的两个不等式都必须取等号。由于函数严格单调递减，只能有，也就是说并且。
再考虑前一个递推式。由于序列有界，可以继续选取子列，使得，其中。取极限可得。但是说明，而假设又说明，因此。另一方面，由可知，于是得到，矛盾。
因此不成立，只能有，所以序列的极限存在。
设序列的极限为。由于序列存在严格为正的下界，所以。对递推式取极限可得，因此。结合，最终得到。