分圆域与分圆多项式

在复数域 $\mathbb{C}$ 中，对于任意正整数 $n$，方程 $x^n-1=0$ 的根被称为 $n$ 次单位根。这些根在复平面上构成一个正 $n$ 边形的顶点，其模长为 1。 这些根可以表示为 $e^{2\pi ik/n}$，其中 $k=0,1,\dots ,n-1$。

定义 1.1.1: 本原单位根

如果一个 $n$ 次单位根 $\zeta$ 满足 ${\zeta }^k\ne 1$ 对于所有 $1\le k<n$，则称 $\zeta$ 为一个 $n$ 次本原单位根 。

等价地，一个 $n$ 次单位根 $\zeta$ 是本原的，当且仅当其阶 为 $n$。

$n$ 次本原单位根的数量等于欧拉函数$\varphi (n)$。

分圆多项式

分圆多项式 ${\Phi }_n(x)$ 是代数学中一类特殊的多项式，与单位根密切相关。

定义 1.1.1: 第 $n$ 个分圆多项式 ${\Phi }_n(x)$

对于正整数 $n$，第 $n$ 个分圆多项式 ${\Phi }_n(x)$ 定义为以所有 $n$ 次本原单位根为根的首一多项式。

具体地，如果 $\zeta$ 是一个 $n$ 次本原单位根，则 ${\Phi }_n(x)$ 的根是所有形如 ${\zeta }^k$ 的复数，其中 $1\le k\le n$ 且 $\gcd (k,n)=1$。

因此，${\Phi }_n(x)$ 可以表示为： ${\Phi }_n(x)={\prod }_{\begin{array}{c}1\le k\le n\\ \gcd (k,n)=1\end{array}}\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)$

分圆多项式具有以下基本性质：

1. 整系数：${\Phi }_n(x)$ 是一个首一多项式，且其所有系数均为整数，即 ${\Phi }_n(x)\in \mathbb{Z}[x]$。
2. 次数 ：$\mathrm{deg}({\Phi }_n(x))=\varphi (n)$，其中 $\varphi (n)$ 是欧拉函数，表示与 $n$ 互素且不大于 $n$ 的正整数个数。
3. 不可约性 ：在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上，${\Phi }_n(x)$ 是不可约的。这意味着它不能分解为两个或更多个次数更低的有理系数多项式的乘积。
4. 递归分解公式：多项式 $x^n-1$ 可以分解为所有 $d$ 为 $n$ 的正因子 的分圆多项式的乘积： $x^n-1={\prod }_{d|n}{\Phi }_d(x)$ 这个性质提供了一种递归计算分圆多项式的方法。例如： ${\Phi }_1(x)=x-1$ $x^2-1={\Phi }_1(x){\Phi }_2(x)⟹{\Phi }_2(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ $x^3-1={\Phi }_1(x){\Phi }_3(x)⟹{\Phi }_3(x)=\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$ $x^4-1={\Phi }_1(x){\Phi }_2(x){\Phi }_4(x)⟹{\Phi }_4(x)=\frac{x^4-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^4-1}{x^2-1}=x^2+1$

分圆域

分圆域是向有理数域 $\mathbb{Q}$ 添加一个单位根所形成的域扩张。

定义 3.1.1: 分圆域 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$

对于正整数 $n$，第 $n$ 个分圆域 定义为 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$，其中 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ 是一个 $n$ 次本原单位根。

值得注意的是，如果 $\zeta$ 是任何一个 $n$ 次本原单位根，则 $\mathbb{Q}(\zeta )=\mathbb{Q}({\zeta }_n)$。

分圆域具有以下性质：

1. 域扩张的次数：分圆域 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦扩张。域扩张 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ 的次数为 $[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\varphi (n)$。这是因为 ${\Phi }_n(x)$ 是 ${\zeta }_n$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式。
2. 伽罗瓦群：分圆域 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦群 同构于模 $n$ 的乘法群 ，记作 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$。 $\text{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$这个同构由映射 ${\sigma }_a\mapsto a(\mathrm{mod}n)$ 给出，其中 ${\sigma }_a$ 是一个自同构 ，满足 ${\sigma }_a({\zeta }_n)={\zeta }_n^a$ 对于所有 $\gcd (a,n)=1$。

多项式 $x^n+1$ 的分解

多项式 $x^n+1$ 的分解与分圆多项式有密切关系。我们可以通过将其转化为 $x^{2n}-1$ 的因子来利用分圆多项式的性质。

关系式

对于正整数 $n$，多项式 $x^n+1$ 可以表示为： $x^n+1=\frac{x^{2n}-1}{x^n-1}$

利用分圆多项式的分解性质，我们有： $x^{2n}-1={\prod }_{d|2n}{\Phi }_d(x)$ $x^n-1={\prod }_{d|n}{\Phi }_d(x)$ 将这两个分解代入关系式，得到 $x^n+1$ 的分圆多项式分解： $x^n+1=\frac{{\prod }_{d|2n}{\Phi }_d(x)}{{\prod }_{d|n}{\Phi }_d(x)}={\prod }_{\begin{array}{c}d|2n\\ d\nmid n\end{array}}{\Phi }_d(x)$ 这意味着 $x^n+1$ 的因子是那些满足 $d$ 整除 $2n$ 但不整除 $n$ 的分圆多项式 ${\Phi }_d(x)$。 分圆多项式在 $x^n+1$ 分解中的良好性质：

1. 整系数 ：由于所有分圆多项式 ${\Phi }_d(x)$ 都具有整数系数，因此 $x^n+1$ 的分解结果也是整系数多项式的乘积。这在整数环或有限域上的计算中非常有利。
2. 不可约性：在有理数域 $\mathbb{Q}[x]$ 上，分圆多项式 ${\Phi }_d(x)$ 是不可约的。这保证了 $x^n+1$ 的上述分解是其在 $\mathbb{Q}[x]$ 上的“最简”分解，即其因子不能进一步分解为更低次的多项式。
3. 明确的根结构 ：$x^n+1$ 的根是满足 $x^n=-1$ 的复数，即 $e^{i(\pi +2\pi k)/n}$，其中 $k=0,1,\dots ,n-1$。这些根是 $2n$ 次单位根中那些不是 $n$ 次单位根的根。分圆多项式的根是本原单位根，这种明确的对应关系有助于分析 $x^n+1$ 的根的性质。
4. 递归计算：分圆多项式可以通过递归公式计算，这使得 $x^n+1$ 的分解可以通过已知的 ${\Phi }_d(x)$ 逐步构造。

具体示例： $n=1$: $x^1+1={\Phi }_2(x)=x+1$（$d|2$ 且 $d\nmid 1⟹d=2$）

$n=2$: $x^2+1={\Phi }_4(x)=x^2+1$（$d|4$ 且 $d\nmid 2⟹d=4$）

$n=3$: $x^3+1={\Phi }_2(x){\Phi }_6(x)=(x+1)(x^2-x+1)$（$d|6$ 且 $d\nmid 3⟹d=2,6$）

$n=4$: $x^4+1={\Phi }_8(x)=x^4+1$（$d|8$ 且 $d\nmid 4⟹d=8$）