黎曼积分与黎曼和

问题0

$f\in C^2([0,1])$，令$R_n:={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t-\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(k/n)$求${\lim }_{n\to \infty }n{R}_n$

• 事实上我们只需要$f\in C^1$就可以得到关于函数黎曼和的估计的结论$\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(k/n)={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t-\frac{f(1)-f(0)}{2n}+O\left(1/n^2\right)$如果条件再弱一些，只要求$f^{\prime }\in L^1$，那么估计会减弱到$\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(k/n)={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t-\frac{f(1)-f(0)}{2n}+O\left(1/n\right)$

1. 分段估计

$R_n$的形式提醒我们，这符合逐项估计的形式，我们可以通过对积分区间进行均匀切割的方式，把$R_n$变成一个标准的和的估计问题。然后中间我们再对每一段使用逐项估计于是便得到：

于是

反过来我们还可以得到结论 $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(k/n)={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t-\frac{f(1)-f(0)}{2n}+O\left(1/n^2\right)$

• 此处利用了结论 $\left|\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\phi (k/n)-{\int }_0^1\phi (t)\mathrm{d}t\right|\le \frac{\text{Var}(\phi )}{n}$其中$\text{Var}(\phi )$是函数$\phi$的全变差（Total Variation）。这里$\phi =f^{\prime }$,并且发现$f^{\prime }$是闭区间上的连续函数，因此全变差有限。所以 $\left|\frac{1}{2n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{f}^{\prime }(k/n)-{\int }_0^1{f}^{\prime }(t)dt\right|=O(1/n)$