Littlewood三原理

Littlewood三原则

1. 所有Lebesgue可测集都“几乎”是有限个”区间”的并。
2. 所有几乎处处收敛的Lebesgue可测函数列“几乎”是一致收敛的。（Egorov定理）
3. 所有Lbesgue可测函数都“几乎”是连续的。（Lusin定理）

1. Lebesgue可测的正则性

定理

Littlewood 第一原理 设 $E\subset \mathbb{R}$ 为勒贝格可测集，且满足有限测度条件 $m(E)<\infty$。 则对于任意给定的 $ϵ>0$，存在有限个互不相交的开区间 $I_1,\dots ,I_N$，使得若令 $A={\bigcup }_{k=1}^N{I}_k$，则满足： $m(E\Delta A)<ϵ$

根据勒贝格测度的外正则性，对于任意 $ϵ>0$，存在开集 $O\supset E$，使得： $m(O\setminus E)<\frac{ϵ}{2}$ 由于 $m(E)<\infty$，我们有 $m(O)=m(E)+m(O\setminus E)<\infty$。 集合 $E$ 与 $O$ 的对称差仅由 $O\setminus E$ 贡献，即： $m(E\Delta O)=m(O\setminus E)<\frac{ϵ}{2}$ 存在序列 $\{I_k{\}}_{k=1}^{\infty }$，使得： $O={\bigcup }_{k=1}^{\infty }{I}_{k}m(O)={\sum }_{k=1}^{\infty }m(I_k)$ 根据级数收敛的性质，余项趋于零。因此，存在足够大的整数 $N$，使得： ${\sum }_{k=N+1}^{\infty }m(I_k)<\frac{ϵ}{2}$ 构造集合 $A$ 为前 $N$ 个区间的并： $A:={\bigcup }_{k=1}^N{I}_k$ 显然，$A$ 是有限个互不相交开区间的并。 我们需要估计 $m(E\Delta A)$。利用对称差满足三角不等式的性质（即 $d(X,Y)=m(X\Delta Y)$ 满足 $d(E,A)\le d(E,O)+d(O,A)$）： $m(E\Delta A)\le m(E\Delta O)+m(O\Delta A)<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$

2. Egorov定理

Egorov定理（1911）

假设$f_k$是一列定义在有限测度的可测集合$E\subset {\mathbb{R}}^d$上的Lebesgue可测函数，并且$f_k$在$E$上几乎处处收敛到$f$。那么对于任意$\epsilon >0$，我们都可以找到$E$的一个闭子集$A_{\epsilon }$使得$m(E-A_{\epsilon })\le \epsilon$并且在$A_{\epsilon }$上函数列$f_k$一致收敛到$f$。

我们的目标是要对任意的$\epsilon >0$构造一个闭子集$A_{\epsilon }$，在满足$m(E-A_{\epsilon })\le \epsilon$的同时，使得${\sup }_{x\in A_{\epsilon }}|f_k(x)-f(x)|\to 0$我们发现实际上闭子集这个条件一开始也不需特别在意。因为只要我们可以找到一个可测集合$A_{\epsilon }^{\prime }$满足函数列一致收敛的条件，$m(E-A_{\epsilon }^{\prime })<\frac{\epsilon }{2}$那么由于Lebesgue可测的内正则性，我们总是可找到一个闭子集$A_{\epsilon }\subseteq A_{\epsilon }^{\prime }$从而$m(A_{\epsilon }^{\prime }-A_{\epsilon })<\frac{\epsilon }{2}$。那么由于$E-A_{\epsilon }=(E-A_{\epsilon }^{\prime })\cup (A_{\epsilon }^{\prime }-A_{\epsilon })$于是$m(E-A_{\epsilon })\le m(E-A_{\epsilon }^{\prime })+m(A_{\epsilon }^{\prime }-A_{\epsilon })<\epsilon$

• 以上过程可以推广为，在外测度的意义下，假设$C\subseteq B\subseteq A$，那么${\mu }^{\ast }(A-C)\le {\mu }^{\ast }(A-B)+{\mu }^{\ast }(B-C)$形式上看起来有点像某种三角不等式。

所以一开始的重点主要是，如何构造满足与$E$的测度的逼近条件，以及一致收敛的可测集合$A_{\epsilon }^{\prime }$。

我们的出发点是$f_k(x)\to f(x)$在$E$上几乎处处成立，不失一般性我们可以找到一个$E^{\prime }\subseteq E$使得$f_k(x)$在$E^{\prime }$上处处收敛到$f(x)$。

那么现在的问题是，要如何做才能在某个集合上把逐点收敛强化到一致收敛？

此处关键的构造在集合$E_k^n:=\{x\in E^{\prime }:|f_j(x)-f(x)|<\frac{1}{n},\forall j>k\}$

1. 我们想要的$A_{\epsilon }^{\prime }$实际上就在$E_k^n$关于$n$的集合列的交集当中。因为对任意的$\delta >0$我们都可以选择一个n使得$\frac{1}{n}<\delta$使得对任意的正整数$k$都有,当$j>k$的时候${\sup }_{x\in E_k^n}|f_j(x)-f(x)|\le \frac{1}{n}<\delta$
2. 但是我们显然不能随便选一个$k$，然后令$A_{\epsilon }^{\prime }$就是${\cap }_{n\ge 1}{E}_k^n$。因为此处还有一个限制，需要$A_{\epsilon }^{\prime }$任意逼近$E^{\prime }$。此处我们考虑到，如果固定$n$考虑关于$k$的集合列$E_k^n$。这是一个关于$k$自下而上逼近$E^{\prime }$的集合列，
   Littlewood 第一原理那么$E_k^n$的测度是可以任意逼近$E^{\prime }$的测度。那么对于任意的$\epsilon /2$我们总是可以选择一个$N_{\epsilon }$，以及一个k的子列$k_n$，使得$m(E^{\prime }-E_{k_n}^n)<\frac{1}{2^n}$以及${\sum }_{n\ge N_{\epsilon }}\frac{1}{2^n}<\frac{\epsilon }{2}$，从而构造$A_{\epsilon }^{\prime }:={\bigcap }_{n\ge N_{\epsilon }}{E}_{k_n}^n$这样的构造能够满足$m(E-A_{\epsilon }^{\prime })\le {\sum }_{n\ge N_{\epsilon }}m(E^{\prime }-E_{k_n}^n)<\frac{\epsilon }{2}$ 再根据前面的分析我们就找到了对应的构造$A_{\epsilon }$，从而证明了Egorov定理。

3.Lusin定理

Lusin定理（1912）

假设$f$是一个Lebesgue可测函数，并且在一个有限测度（Lebesgue测度）集合$E\subset {\mathbb{R}}^d$上取值有限。那么对任意的$\epsilon >0$存在一个闭集$F_{\epsilon }$使得$F_{\epsilon }\subset E,m(E-F_{\epsilon })<\epsilon$并且使得$f{|}_{F_{\epsilon }}$是连续的。

• 此处要注意Lusin定理最后表述的为，$f$限制在$F_{\epsilon }$上的时候连续，而不是在$x\in F_{\epsilon }$的点上连续。这两者的区别在于拓扑的不同。我们从连续函数的拓扑定义上来看待这个问题的话，所谓$X\to Y$的连续函数$h$，指的是对任意拓扑空间$Y$当中的开集$V\subset Y$其原像$h^{-1}(V)$是拓扑空间$X$当中的开集。此处：
  1. 第一种情况下令$f{|}_{F_{\epsilon }}=g$这是一个定义在$F_{\epsilon }\to {\mathbb{R}}^d$的函数，其中$F_{\epsilon }\subset \mathbb{R}$装备的是子集的拓扑。在这个拓扑当中对于$F_{\epsilon }$当中的某个子集$W$，如果存在某个${\mathbb{R}}^d$当中的开集$U\subset \mathbb{R}$使得$W$可以表示为$F_{\epsilon }\cap U$那么$W$就是$F_{\epsilon }$当中的开集。所以回到连续性上来说，现在只要对任意的$V\subset {\mathbb{R}}^d$都能使得$g^{-1}(V):=\{x\in F_{\epsilon }:f(x)\in V\}$是$F_{\epsilon }$当中的开集，那么$g$就是在$F_{\epsilon }$上的连续函数。
  2. 第二种情况下，要求的是$f$在任意的$x\in F_{\epsilon }$上保持$\mathbb{R}$的欧氏拓扑意义下的连续性。也就是说，对于任意$x\in F_{\epsilon },f(x)=y$需要保证任意的关于$y$的开邻域$V_y\subset \mathbb{R}$其原像$f^{-1}(V_y)$是一个关于$x$的开邻域，即找到一个开邻域$U_x$使得$U_x=f^{-1}(V_y)$。
• 在度量空间当中我们也可以从点列的角度理解这件事：$f{|}_{F_{\epsilon }}$的连续性指的是对任意$F_{\epsilon }$上的序列$x_k$以及$x\in F_{\epsilon }$，如果$x_k\to x$那么$f(x_k)\to f(x)$。也就是说，限制在$F_{\epsilon }$上的连续性只用$F_{\epsilon }$上点列和点来检验$f(x_k)\to f(x)$这一条规则即可。而如果是单纯考虑在整个度量空间$X$上的某个点$x\in F_{\epsilon }$上连续，那么任意的$X$当中的序列$x_k$无论是否全部包含在$F_{\epsilon }$上，只要$x_k\to x$那么一定需要保证$f(x_k)\to f(x)$。