证明有限群存在一个满足特定Index条件的正规子群

命题1

对任意一个有限群$G$,如果其含有一个子群$H$其index为$H$,那么此群一定包含一个index整除于$n!$的正规子群。

想法

因为如果存在一个这样的正规子群，$K◃G$那么必定存在这样一个满足条件的群同态$\varphi$其同态核恰好就是$K$,即$\text{ker}(\varphi )=K$。而对于有限群$G$而言，一个群同态的主要来源就是对于某个集合$X$上的群作用，因为这就是$G$到$S(X)$的一个群同态。

所以我们的问题就转换为，寻找这样一个合适的集合$X$。

这样的集合需要满足的性质：$|X|=n$。

这是因为如果$K$对应的index为$n!$的因子，那么相应的商群的阶$|G/K|$也是$n!$的因子。同时群同态$\varphi$的核为$K$，以及1. 群上的第一同构定理告诉我们$G/K\simeq \text{im}\varphi$所以群同态的像作为$S(X)$的子群，其阶也是$n!$的因子。那么此时最简单的处理方式就是令$|X|=n$，如此一来$|S(X)|=n!$,那么Lagrange定理告诉我们$\text{im}\varphi$作为其子群一定是整除$n!$的。

所以我们要怎样得到一个这样的合适的尺寸为$X$的集合呢？我们还需要结合另外一个因素:$H$的指数为$n$。子群的指数的信息告诉我们，整个群代表的集合$G$被分为$n$个不交的陪集。那么这里一个自然的选择就是$X:=\{g_{1}H,\cdots ,g_{n}H\}$现在考虑群$G$对集合$X$的作用${\varphi }_g(g_{i}H):=g\cdot (g_{i}H)=(g{g}_i)H$而这样的确能构成一个群同态，因为对任意$a,b\in G$都有${\varphi }_{ab}(g_{i}H)=a(b{g}_{i}H)={\varphi }_a(b{g}_{i}H)={\varphi }_a({\varphi }_b(g_{i}H))$于是${\varphi }_{ab}={\varphi }_a\circ {\varphi }_b$。这里因为${\varphi }_a,{\varphi }_b$都是对集合$X$的一个置换，都是$S(X)$当中的元素，而此群中的元素之间的二元运算就是置换的复合。