Rolle定理在无界区间上的推广

命题0：Rolle定理的推广

函数$f$在$[a,+\infty )$上连续$(a,+\infty )$上可微并且满足$f(a)={\lim }_{x\to +\infty }f(x)$那么存在一个$\xi \in (a,+\infty )$使得$f^{\prime }(\xi )=0$

我们的基本想法是把问题转换为经典的Rolle定理的情况，即：

引理1：Rolle定理

函数$f$在$[a,b]$上连续$(a,b)$上可微并且满足$f(a)=f(b)$那么存在一个$\xi \in (a,b)$使得$f^{\prime }(\xi )=0$

核心想法

类似的问题，无论实现方案是什么，其核心想法一般都是：证明在区域内部存在一个极值点，从而使得此点处微分为0。

1. 证明尾巴上不可能逼近到上确界

下面这个证明的想法比较类似于证明通常的Rolle定理，只不过现在需要排除的不是闭区间的端点而是无界的区间的“端点”逼近到上确界的可能性。

（类似于通常的Rolle定理）假设存在一个点$x_0\in (a,+\infty )$使得$f(x_0)\ne f(a)$，否则$f(x)\equiv f(a)$那么函数在$(a,+\infty )$上是常数自然存在$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=0$。不失一般性，假设$f(x_0)>f(a)$。

想法1.1

在上面的假设下，实际上函数是存在最大值的，并且最大值是可以在$(a,+\infty )$当中取到的，那么这个最大值点处函数的导数就是0。

根据极限的定义$\forall \epsilon >0$存在$R_{\epsilon }>0$使得，对任意满足$x>R_{\epsilon }$的值都有$f(a)-\epsilon <f(x)<f(a)+\epsilon$在$f(x_0)>f(a)$的假设下，令$M:={\sup }_{x\ge a}f(x)$，$M\ge f(x_0)>f(a)$。我们现在就是要证明$M$是可以被某个函数值取到。也就是说，函数在尾部的时候不会任意逼近到$M$,$M$是作为$(a,+\infty )$当中的某个闭子集区间上函数的最值存在的。

我们想到如果令${\epsilon }_0=\frac{f(x_0)-f(a)}{2}$那么会存在一个$R_0$，使得对任意满足$x>R_0$的值都有$f(x)<f(a)+{\epsilon }_0=\frac{f(a)+f(x_0)}{2}<f(x_0)$那么我们可以得到结论：$M$实际上是函数在$[a,+\infty )$的最大值,也就是说存在一个内点$\xi$使得$f(\xi )=M$。这是因为：

1. 首先作为连续函数其必然在闭区间$[a,2R_0]$上取到最大，不妨假设为$M^{\prime }$。
2. 然后考虑到当$x>R_0$的时候函数值的不等式，我们知道${\sup }_{x>2R_0}f(x)<f(x_0)\le M$因此$M={\sup }_{x\in [a,2R_0]}f(x)=M^{\prime }$
3. 最后我们需要排除$f(2R_0),f(a)$等于$M$的可能性,也就是说$M$作为函数在闭区间上的最大值，最大值点只能取在闭区间内部而不是边界上。首先排除$f(a)$等于$M$，这与我们的假设不符。其次我们之所以要考虑$[a,2R_0]$而不是$[a,R_0]$。因为$2R_0>R_0$因此$f(2R_0)<M$。因此最大值点只能取在$[a,2R_0]$内部。

综上所述，我们知道在开区间$(a,2R_0)$当中存在一个极大值点$\xi$，那么根据非边界上的局部极大值点的性质，$f^{\prime }(\xi )=0$。

如果是假设存在一个点$x_0$使得$f(x_0)<f(x)$的情况，只需要把上确界改成下确界，上述证明的思路依旧行得通。

2. 构造辅助函数

想法2.1

我们如果可以构造一个辅助函数$g(t)$,其满足:

1. 其定义在闭区间$[0,1]$上，并且满足Rolle定理的条件，即闭区间上连续，开区间上可微，并且$g(0)=g(1)$。
2. 这个函数与$f$的微分有密切关系，准确来说，如果存在$c\in (0,1)$使得$g^{\prime }(c)=0$那么这就能导致$f^{\prime }(\xi )=0$。换言之，我们可以通过针对$g(t)$的Rolle定理证明对$f$的推广的Rolle定理。

根据要求，首先我们要把区间$[0,1]$通过伸缩变换变成$[a,+\infty )$,那么其中伸缩映射为$h(t):=a+\frac{t}{1-t}$ 在$t\in [0,1)$的时候我们可以定义$g(t)=f(h(t))$，不过$t=1$的位置需要单独定义以使得$g(0)=f(a)=g(1)$。于是最终函数定义为：$g(t):=\{\begin{array}{ll}f(h(t))& t\in [0,1)\\ f(a)& t=1\end{array}$这样函数满足“想法2.1”当中的要求，因为：

1. 连续性：函数在$t\in [0,1)$上连续。同时因为${\lim }_{t\to 1^{-}}g(t)={\lim }_{x\to \infty }f(x)=f(a)$
2. 可微性：由于$f,h$两个函数的可微性，自然复合以后的函数在$(0,1)$上可微，并且导数具有形式$g^{\prime }(t)=f^{\prime }(h(t))h^{\prime }(t)=f^{\prime }(h(t))\left(\frac{1}{1-t}+\frac{t}{(1-t{)}^2}\right)$
3. $g(0)=g(1)=f(a)$。
4. 如果存在$c\in (0,1)$使得$g^{\prime }(c)=0$那么$f^{\prime }(h(c))\left(\frac{1}{1-c}+\frac{c}{(1-c{)}^2}\right)=0⟹f^{\prime }(h(c))=0$那么因为$h(c)\in (a,+\infty )$,那么令$h(c)=\xi$，于是$f^{\prime }(\xi )=0$