利用相似的渐近判断积分收敛与发散性

命题1

$f\in C^1[0,+\infty ),f(0)>0,f^{\prime }(x)>0$,那么${\int }_0^{\infty }\frac{1}{f(x)}dx$与${\int }_0^{\infty }\frac{1}{f(x)+f^{\prime }(x)}dx$同收敛同发散。

这个问题也可以转换为一个渐近问题，即我们需要知道$I_N:={\int }_0^N\frac{1}{f(x)+f^{\prime }(x)}dx$的渐近展开，要求精度为$O(1)$，因为非负性，这个积分要么绝对收敛，要么绝对发散。而我们已经知道一个形式类似的渐近结果$I_N^{\prime }:={\int }_0^N\frac{1}{f(x)}dx=O(1)$所以如果我们可以证明$I_N-I_N^{\prime }=O(1)$那么问题也就解决了。所以接下来就是估计二者之差的工作:

$\begin{array}{rl}|I_N-I_N^{\prime }|& \le {\int }_0^N\left|\frac{1}{f(x)+f^{\prime }(x)}-\frac{1}{f(x)}\right|dx\\ & \le {\int }_0^N\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx\\ & ={\int }_{f(0)}^{f(N)}\frac{1}{y^2}dy\\ & <\frac{1}{f(0)}=O(1)\end{array}$于是二者的误差是符合误差范围的，因此$I_N=O(1),\forall N$于是二者的渐近是相同的，于是问题便得到了解决。