制造关于上下极限的不等式组

核心想法

对于一个实数列$x_n$而言，如果满足下列不等式那么极限存在并且为$L$ $L\le {\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{x}_n\le {\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{x}_n\le L$这件事在递归定义的序列当中会比较容易实现，因为递归定义的序列当中容易出现关于序列上下极限的不等式组，有时候我们可以通过解不等式组来求得极限。

这样做的优势1:不需要单调性

通常情况下，我们想要通过序列$x_n$的单调有界性来证明序列极限的存在性。然后我们可以在假设序列极限存在性的情况下，通过解方程，或者Stolz定理的方式来得到极限。但有的时候单调性的证明会比较困难，这时候如果采用上下极限相等的做法，结合1.2 分母单调无界的一般情况当中的广义Stolz来绕过单调性。

• 利用Stolz定理确定递归序列的渐近系数:在这个问题当中$x_1=1$然后序列符合递归定义$x_{n+1}=x_n+3\sqrt{x_n}+\frac{n}{\sqrt{x_n}}$我们的目标是得到${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{n^2}$假设我们已经通过归纳法得到了序列$\frac{x_n}{n^2}$的有界性，那么接下来令$a={\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }\frac{x_n}{n^2},b={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{x_n}{n^2}$我们知道$a,b$实际上都是正的有限实数。然后我们用广义Stolz定理很容易就得到$a\ge {\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }\frac{3\sqrt{x_n}}{2n}=\frac{3}{2}\sqrt{a}$解出方程便得到不等式$a\ge \frac{9}{4}$。对上极限的方向重复同样的步骤得到$b\le \frac{9}{4}$于是便得到了我们想要的$\frac{9}{4}\le a\le b\le \frac{9}{4}$
• 利用Stolz定理确定递归序列的渐近系数2:这个问题等价于$y_{n+1}-y_n=-\frac{1}{2}{y}_n{y}_{n+1}$其中$y_1=1$。然后我们要求极限${\lim }_{n\to \infty }n{y}_n$不过由于$n{y}_n$的单调性，有界性很容易得到，因此这个问题如果用这里的方法并不会有太大的优势。
• 关于序列极限的公开问题：此问题的一个简单情形是，已知$a_1>0$并且满足$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_1+\cdots +a_n}$我们的目标是求极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{n^{1/2}}$这个问题的单调性与有界性都不容易得到。不过相对于单调性而言，其有界性在令$u_n=S_n^2$发现$u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}=2n+a_{n+1}^2+a_n^2$后通过借助序列差分的估计蕴含着序列本身的估计的想法以后得到。于是我们尝试制造关于序列上下极限的不等式，其中主要方法就是分别对定义式，以及关于$u_n$的式子用广义的Stolz，然后得到一个关于上下极限$b,a$的不等式组：$\{\begin{array}{ll}ab=3& \\ a^2\ge \frac{12}{b^2+1}& \\ b^2\le \frac{12}{a^2+1}& \end{array}$解此方程便得到$a=b=\sqrt{3}$
• 一个递推序列的渐近问题:这是一个与之前问题非常类似的问题，递归的结构都非常类似。已知$a_1>0$然后序列满足$a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$现在要求${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{\sqrt{n}}$我们可以首先通过令$b_n:=a_n^2$，那么根据递归关系得到$b_{n+1}=b_n+\frac{4}{b_n}+4$这便能通过差分的估计来得到$\frac{b_n}{n}$有界。然后通过广义Stolz定理得到关于上下极限的不等式$\frac{4}{U}\le L\le U\le \frac{4}{L}$以后关于$b_n$的第二组不等式$U^2\ge 4,L^2\le 4$最终得到 $L=U=2$
• 带根号的三项迭代序列极限的存在性问题:在这个问题当中，我们已知$x_1,x_2>0$序列满足$x_{n+2}:=\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_n}$我们需要求序列$x_n$的极限。首先有界性很容易得到，其次如果极限存在，假设为$a$，那么带入原方程解方程就可以得到$a=2\sqrt{a}$那么自然就解得到极限$a=4$。所以我们下意识可能会想到去证明序列的单调性，但这根本没有必要。设序列的上极限为$U$下极限为$L$二者都是有限正实数，由于$\sqrt{x}$的连续性，以及严格单调性，那么根据上下极限的运算规律就可以得到$U\le 2\sqrt{U},L\ge 2\sqrt{L}$这个不等式组的解即为$L=U=4$

这样做的劣势1

如果单调性很简单，有界性却是困难点，那么这个方法就不那么有效了。

• 递推序列确定渐近系数但Stolz失灵的情况:在这个问题当中我们已知$a_1=\frac{\pi }{2}$并且序列满足递推关系$a_{n+1}=a_n-\frac{1}{n+1}\sin (a_n)$我们需要证明序列$n{a}_n$的极限存在。此问题中，$n{a}_n$的单调性是很容易的，困难的是其有界性。那么我们想要通过解关于上下极限的不等式的企图一开始就会遇到障碍。