Tip

核心想法是控制一个坏集，通过控制坏集的区间足够小来控制它对好性质不会产生过多的影响

Example

$[0, 1]$ 区间上的一系列可测函数 $f_{n}$ 满足 $∣ f_{n} (x) ∣ < \infty$ ,a.e. $x$ . 证明存在一系列的正实数 $c_{n}$ 使得 $\frac{f _{n} ( x )}{c _{n}} \to 0, a . e . x$

我们考虑我们考虑坏集为 $E_{k} = {x : ∣ \frac{f _{n} ( x )}{c _{n}} ∣ > \frac{1}{n}}$ 这样一来我们可以选取一个特定的 $c_{n}$ 使它满足 $A_{c} : f_{n} (x) > \frac{c}{n}$ 当 $c$ 从0增加时， $A_{c}$ 的集合大小是递减的，有： $⋂_{c = 1}^{\infty} A_{c} = {x \in: ∣ f_{n} (x) ∣ = \infty}$ 对其取测度，总是为0的： $lim_{c \to \infty} m (A_{c}) = m (⋂_{c = 1}^{\infty} A_{c}) = 0$ 回到最开始的讨论，我们有 $m (E_{n}) < \frac{1}{2 ^{n}}$ 则： $\sum_{n = 1}^{\infty} m (E_{n} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{n}}) = 1$ 为了构造Borel-Cantelli定理，我们取 $E = lim_{n \to \infty} s u p E_{n} = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} E_{n}$ 则证毕。

Borel-Cantelli定理

${E_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ 是 $R_{d}$ 中一系列可数的可测子集，他满足 $\sum_{k = 1}^{\infty} m (E_{k}) < \infty$ 其中 $E = {x \in R^{d} : x \in R^{d}, 对无穷多个 k} = lim_{l \to \infty} s u p (E_{k})$

这个证明比较简单，分为两步，证明E是可测的是显然的，然后再证 $m (E) = 0$ ,我们把 $E$ 写成 $⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{k \leq n} E_{k}$ 这样一来不难看出 $E \subset ⋃_{k = n}^{\infty} E_{k}$ 以及 $m (E) \leq m (⋃_{k = n}^{\infty} E_{k})$ 再来利用前式构造另一不等式： $m (⋃_{k = n}^{\infty} E_{k}) \leq \sum_{k = n}^{\infty} m (E_{k})$

一个经典的利用Borel-Cantelli定理的例子来自于丢番图逼近

$\frac{p}{q}$ 满足 $x - \frac{p}{q} \leq \frac{1}{q ^{2}}$ 证:所有满足存在无穷多个互素整数 (p,q) 使得

设x为一个无理数,可用鸽巢原理证明：存在无穷多个互素整数 (p,q) 使得分数

$(或更一般地 \leq 1/ q^{2 + ϵ})$
的实数 $x \in R$ 。

$f$ 是可测的，存在 $δ > 0$ ,使得 $\int_{E} ∣ f ∣ < δ$ 在 $m (E) < δ$ 时成立

如果我们要求 $f (x)$ 是有界的那么 $\int_{E} ∣ f ∣ < M ϵ$ 然后再去控制M即可，但是对于一般的函数我们无法这么控制，而是转向限制坏集来完成： $f_{N} (x) = f (x) χ_{B_{N}}$ $E_{N} = {x : f (x) \leq N}$

那么就有极限的等价形式 $\int (f - f_{N}) < \frac{ϵ}{2}$ 选择一个 $δ > 0$ 使得 $N δ < \frac{ϵ}{2}$ 则有： $\int_{E} f = \int_{E} (f - f_{N}) + \int_{E} f_{N} \leq \int (f - f_{N}) + \int_{E} f_{N} \leq \int (f - f_{N}) + N m (E) \leq ϵ$

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