Tip

标准的勒贝格控制收敛定理 (LDCT) 保证了在特定条件下，积分的极限等于极限的积分 ( $lim \int f_{n} = \int lim f_{n}$ )。这是一个关于数值收敛的结论。然而，在相同的假设下，我们可以得到一个在结构上更强的结论：函数序列 $f_{n}$ 在** $L^{1}$ 范数**的意义下收敛于极限函数 $f$ 。这意味着 $f_{n}$ 与 $f$ 之间差异部分的面积 $\int ∣ f_{n} - f ∣$ 趋向于零。这个 $L^{1}$ 收敛是现代分析中的一个核心概念，它深刻地刻画了函数序列的“整体逼近”程度，而不仅仅是积分值的逼近。

1. 两种收敛模式

1.1 标准形式：积分的收敛

定理1

设 ${f_{n}}$ 是一列可测函数序列，满足：

$f_{n} \to f$ 几乎处处 (a.e.)。

存在一个可积函数 $g \in L^{1}$ ，使得对所有 $n$ ，都有 $∣ f_{n} ∣ \leq g$ a.e.。

则 $f$ 也是可积的，且 $lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ = \int f d μ$

此定理的结论是关于积分这个实数值的收敛性。

1.2 强形式： $L^{1}$ 范数的收敛

定理2

设 ${f_{n}}$ 是一列可测函数序列，其前提条件与定理1完全相同。

则 $f$ 也是可积的，且 $f_{n}$ 在 $L^{1}$ 范数下收敛于 $f$ ，即 $lim_{n \to \infty} \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

2. 强结论蕴含弱结论

由积分的基本性质可知： $\int f_{n} d μ - \int f d μ = \int (f_{n} - f) d μ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ$ 因此证明了强形式也就变相证明了标准形式。

3. 强形式的证明

先证存在可测集 $B$ 使得 $\int_{B^{c}} ∣ f ∣ < ϵ$ 我们取简单函数: $f_{N} (x) = f (x) χ_{B_{N}} (x), f_{N} (x) \leq f_{N + 1} (x)$ 则有极限的等价形式 $0 \leq \int (f - f χ_{B_{N}}) \leq ϵ$ 又 $1 - χ_{B_{N}}$ 可以推出 $\int f χ_{B_{N}^{c}} < ϵ$ 然后选取 $E_{N} = {x : ∣ x ∣ \leq N, g (x) \leq N}$ 则 $f_{n} χ_{E_{N}}$ 是有界的又有 $\int_{E_{N}} ∣ f_{n} - f ∣ < ϵ$ 则 $\int ∣ f_{n} - f ∣ = \int_{E_{N}} ∣ f_{n} - f ∣ + \int_{E_{N}^{c}} ∣ f_{n} - f ∣ \leq ϵ + 2 \int_{E_{N}^{c}} g \leq 3 ϵ$