打字机

打字机序列是实分析中用于辨析收敛模式差异的经典反例。

Tip

其核心直觉在于：函数列的“能量”（$L^p$ 范数）可以随着支撑集的测度减小而趋于零，但支撑集本身可以在定义域内无限次地“循环扫描”。

这揭示了测度论中的一个深刻事实：平均意义下的收敛（$L^p$ 收敛）并不蕴含个体意义下的收敛（逐点收敛或几乎处处收敛）。 这种现象类似于打字机的机头，虽然每次敲击的范围（区间长度）越来越窄，但它周而复始地扫过整个纸面，导致纸面上任意一点都会被无限次地“击中”。

1. 定义与命题

定义

打字机序列 考虑定义在概率空间 $([0,1],\mathcal{B},m)$ 上的函数列 $\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$。 对于任意整数 $n\in \mathbb{N}$，存在唯一的整数对 $(k,j)$ 满足 $n=2^k+j$，其中 $k\ge 0$ 且 $0\le j<2^k$。 定义 $f_n$ 为以下区间的特征函数（Indicator Function）： $f_n(x)=1_{E_n}(x),\text{其中 }{E}_n=\left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]$ 这里 $k$ 称为“代数”，$j$ 称为该代中的“位置” 。

之所以比喻为打字机，是因为固定好某个k，我们可以把闭区间$[0,1]$均匀分为$2^k$份，每个闭区间形如$\left[\frac{n-2^k}{2^k},\frac{n-2^k+1}{2^k}\right]$每个区间长度都为$\frac{1}{2^k}$。现在让n动起来，当$n=1$的时候函数列为$1_{\left[0,\frac{1}{2^k}\right]}$，也就是区间$[0,\frac{1}{2^k}]$这个闭区间的特征函数，恰好是所有$2^k$个闭区间当中最左边的一个。当$n=2^{k+1}-1$的时候，从左往右移动直到$1_{\left[1-\frac{1}{2^k},1\right]}$ ,等到$k$变成$k+1$的时候序列重复一遍从$1_{\left[0,\frac{1}{2^{k+1}}\right]}$移动到$1_{\left[1-\frac{1}{2^{k+1}},1\right]}$的过程，就像打字机每一次从左边运动到右边然后换行一样，周而复始。

也就是说在定义$f_n(x)$这个序列的时候，$n$应该是要遍历从$1$开始的每一个自然数。不过对于这个序列，我们是分组定义$f_n(x)$。在固定好$k$以后的每一组$2^k⩽n<2^{k+1}$范围内，函数列定义为$f_n(x)=1_{\left[\frac{n-2^k}{2^k},\frac{n-2^k+1}{2^k}\right]}$。

定理

收敛性命题 函数列 $\{f_n\}$ 满足以下性质：

1. $L^p$ 收敛：对于任意 $1\le p<\infty$，有 ${\lim }_{n\to \infty }\Vert f_n{\Vert }_{L^p}=0$。
2. 处处发散：对于任意 $x\in [0,1]$，序列 $\{f_n(x)\}$ 均不收敛。即 $\{f_n\}$ 甚至不是几乎处处 (a.e.) 收敛到 0 的。

2. 证明

2.1 $L^p$ 范数的收敛性

我们需要证明函数列在积分意义下趋于 0。

计算 $L^p$ 范数 根据定义，$f_n$ 是特征函数，其值仅为 0 或 1。因此 $|f_n(x){|}^p=f_n(x)$。 $\Vert f_n{\Vert }_{L^p}={\left({\int }_0^1|f_n(x){|}^{p}dx\right)}^{1/p}={\left({\int }_0^1{1}_{E_n}(x)dx\right)}^{1/p}=(m(E_n){)}^{1/p}$

分析测度极限 由区间构造可知，对于 $n=2^k+j$，区间 $E_n$ 的勒贝格测度为： $m(E_n)=\frac{1}{2^k}$ 当 $n\to \infty$ 时，其对应的代数 $k=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$ 也趋于无穷大 ($k\to \infty$)。 因此： ${\lim }_{n\to \infty }\Vert f_n{\Vert }_{L^p}={\lim }_{k\to \infty }{\left(\frac{1}{2^k}\right)}^{1/p}=0$

2.2 逐点发散性

我们需要证明对于任意固定的 $x_0\in [0,1]$，极限 ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x_0)$ 不存在。我们将通过证明该序列在 0 和 1 之间无限振荡来完成论证。

构造取值为 1 的子序列 (覆盖性)

• 固定任意 $x_0\in [0,1]$。
• 考虑任意一代 $k\ge 0$。由于第 $k$ 代的区间族 ${\mathcal{E}}_k=\{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]{\}}_{j=0}^{2^k-1}$ 构成了 $[0,1]$ 的一个覆盖（除有限个端点外是分割，端点处可能有重叠，但这保证了覆盖性）。
• 必然存在某个 $j_k\in \{0,\dots ,2^k-1\}$，使得 $x_0\in E_{n_k}$，其中 $n_k=2^k+j_k$。
• 这意味着对于每一个 $k$，都存在一个对应的 $n_k$，使得 $f_{n_k}(x_0)=1$。
• 由此构造出子序列 $\{f_{n_k}(x_0){\}}_{k=1}^{\infty }$，其所有项均为 1。
• 故上极限 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{f}_n(x_0)=1$。

构造取值为 0 的子序列 (稀疏性)

• 继续固定 $x_0$。
• 在第 $k$ 代中，共有 $2^k$ 个区间。$x_0$ 最多属于其中 2 个区间（若 $x_0$ 恰为二进分点），通常只属于 1 个。
• 这意味着在第 $k$ 代对应的所有 $n$ 值中（共 $2^k$ 个），绝大多数 $n$ 满足 $x_0\notin E_n$，即 $f_n(x_0)=0$。
• 随着 $k\to \infty$，不包含 $x_0$ 的区间数量趋于无穷。我们可以轻易找到无穷多个 $n$，使得 $f_n(x_0)=0$。
• 故下极限 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{f}_n(x_0)=0$。