积分因子法与分项组合

作为常微分最常用的两类方法，分项组合技巧性极强，而积分因子恰能弥补它的缺点 一般来说分项组合有以下常见情况：

$d(xy)=ydx+xdy=0$

$d(\frac{x}{y})=\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy$

通常的，对于$ydx-xdy$可以考虑如下几种形式

$d(ln|\frac{x}{y}|)=\frac{ydx-xdy}{xy}$

$d(arctan\frac{y}{x})=\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$

$d(ln|\frac{x-y}{x+y}|)=2\frac{ydx-xdy}{x^2-y^2}$

问题1

$(y^{2}cosx+y)dx+(y-x)dy=0$ 设M,N，有： $\frac{\partial M}{\partial y}=2ycosx+1,\frac{\partial N}{\partial x}=-1$ $\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=-\frac{2}{y^2}$ 故原方程存在积分因子 $\mu (y)=e^{\int -\frac{2}{y}dy}=\frac{1}{y^2}$