引理 1

函数 $f$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $f (x) \geq f (y) ⟹ x \geq y$ 当且仅当 $f$ 严格单调增加。

如果 $f$ 满足引理中的性质，那么对任意 $x < y$ 不可能有 $f (x) \geq f (y)$ 于是必然有 $f (x) < f (y)$ 从而函数 $f$ 严格单调增加。

想法 2

如果我们的目标是研究序列 $a_{n}$ 的单调性，但是由于 $a_{n}$ 的形式较为复杂，那么我们可以考虑一个定义在序列的取值范围内的严格单调增加的函数 $f$ ，从而根据引理 $a_{m} \leq a_{n} ⟺ f (a_{m}) \leq f (a_{n})$ 而此时如果 $b_{n} := f (a_{n})$ 是一个单调性相对更简单的序列，那么这个想法就是成功的。

例子3

考虑 $a_{n} := n^{1/ n}$ 的单调性。我们不妨考虑 $b_{n} = lo g (a_{n}) = \frac{l o g ( n )}{n}$ 通过研究函数 $\frac{l o g ( x )}{x}$ 的单调性，我们不难看出 $n \geq 3$ 的时候序列 $b_{n}$ 都是单调减少，那么序列 $a_{n}$ 也是单调减少的。

例子4

考虑 $a_{n} := (n!)^{1/ n}$ 的单调性。我们不妨考虑 $b_{n} = lo g (a_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} lo g (k)$ 现在我们仍然需要考虑 $b_{n}$ 的单调性，不过相对于原本 $a_{n}$ 的单调性而言，起码我们拜托了 $n!$ 这个对象，这并非是一个初等函数取整数的情况，往往这是麻烦的源头。

令 $S_{n} := \sum_{k = 1}^{n} lo g (k)$ 于是 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{n lo g ( n + 1 ) - S _{n}}{n ( n + 1 )} = \frac{n lo g ( 1 + \frac{1}{n} ) + n lo g ( n ) - S _{n}}{n ( n + 1 )} > \frac{n lo g ( n ) - S _{n}}{n ( n + 1 )} = \frac{\sum _{k = 1}^{n} lo g ( n ) - lo g ( k )}{n ( n + 1 )} \geq 0$ 因此序列 $b_{n}$ 单调增加，从而 $a_{n}$ 单调增加。

这里其实还有一个trick：对于 $\frac{\sum _{k = 1}^{n} g ( k )}{n}$ 这样的某个序列 $g (k)$ 前n项的算术平均值，如果 $g (k)$ 本身单调不减，那么其算术平均值也是单调不减的。

想法4

类似于这种 $f (n)^{g (n)} > 0$ 或 $f (x)^{g (x)} > 0$ 的例子，对数化实际上是一个标准技巧。这样做的好处不仅仅是体现在求单调性这一件事上 $f (x)^{g (x)} = exp (g (x) lo g (f (x)))$ 这样的表达能把原本的函数转换为我们明确知道的一些初等函数的复合，这样我们便可以用一系列针对常见初等函数的手段研究函数，比如：

利用基本初等函数的微分公式

利用基本初等函数的Taylor展开

利用基本初等函数的一系列，不等式，单调性等已知结果。

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