对闭区间上连续可微函数最大值的控制

命题1

$f\in C^1([a,b])$，那么${\max }_{x\in [a,b]}|f(x)|\le \frac{1}{b-a}\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|+{\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx$

首先想到由于函数的连续性积分的中值定理，闭区间上必然存在一个点$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$假设$|f|$在$c$处取得最大值，那么问题就变成了$|f(c)|-|f(\xi )|$如何被控制。一个简单的想法是$\begin{array}{rl}|f(c)|-|f(\xi )|& \le |f(c)-f(\xi )|\\ & =\left|{\int }_c^{\eta }{f}^{\prime }(x)dx\right|\\ & \le \left|{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx\right|\end{array}$综合以上步骤，我们便得到了最后的结果。