分析推导（推广到复数域）

知识点

指数函数： $e^{w} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{w ^{n}}{n !} = 1 + w + \frac{w ^{2}}{2 !} + \frac{w ^{3}}{3 !} + \dots$ 余弦函数： $cos (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} z ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 - \frac{z ^{2}}{2 !} + \frac{z ^{4}}{4 !} - \dots$ 正弦函数： $sin (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} z ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = z - \frac{z ^{3}}{3 !} + \frac{z ^{5}}{5 !} - \dots$

考虑指数函数的泰勒展开： $e^{i z} = 1 + i z + \frac{- z ^{2}}{2 !} + \frac{- i z ^{3}}{3 !} + \frac{z ^{4}}{4 !} + \frac{i z ^{5}}{5 !} + \dots$

重新组合实部和虚部: $e^{i z} = (1 - \frac{z ^{2}}{2 !} + \frac{z ^{4}}{4 !} - \dots) + i (z - \frac{z ^{3}}{3 !} + \frac{z ^{5}}{5 !} - \dots)$ 因此，我们得到： $e^{i z} = cos (z) + i sin (z)$

微分方程推导（循环论证之嫌）

想法来源

考虑一个函数 $f (x)$ 满足以下微分方程： $f^{''} (x) + f (x) = 0$ 初始条件 $f (0) = 1$ 和 $f^{'} (0) = i$

我们知道，这个二阶线性常微分方程的通解是 $f (x) = A cos (x) + B sin (x)$ 利用初始条件：

$f (0) = A = 1$
$f^{'} (x) = - A sin (x) + B cos (x)$ 。
$f^{'} (0) = B$ 。所以 $B = i$ 。

因此，满足这个微分方程和初始条件的函数是 $f (x) = cos (x) + i sin (x)$

考虑函数 $g (z) = e^{i z}$ $\frac{d}{d z} e^{i z} = i e^{i z}$ 。再求一次导： $\frac{d ^{2}}{d z ^{2}} e^{i z} = - e^{i z}$ 。即 $\frac{d ^{2}}{d z ^{2}} e^{i z} + e^{i z} = 0$

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分析推导 （推广到复数域）

微分方程推导（循环论证之嫌）

分析推导（推广到复数域）