变量代换

在高代中有一类所有系数均为1的多项式函数通过变量代换求解

引例1

若p为素数，求证$f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$ 在有理数域上不可约

核心想法

令$x=y+1$ 则$f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=y^{p-1}+C_p^1{y}^{p-2}+\cdots +C_p^p-1$

取$\forall p\mid C_p^i$且有$p\nmid 1$,$p^2\nmid C_p^{p-1}=1$ 由Eisenstein判别法，$f(x)$在有理数域上不可约

进一步的，我们可以抽象出一个思想

核心思想

$f(x)=\frac{x^{k+1}-a^{k+1}}{x-a}=x^k+a{x}^{k-1}+a^2{x}^{k-2}+\cdots +a^k$

那么我们不仅思考如果$g(x)=x^p+1$问题会变得怎么样， 由代数基本定理与算术基本定理我们可以知道$g(x)$一定是可约的： $x^p+1=(x+1)(x^{p-1}-x^{p-2}+x^{p-3}-\cdots +1)$ 对于后面一项，尽管在Q上已经是不可约的，但是在C上仍然可约：