丢番图逼近

丢番图逼近中的一个零测集

Tip

狄利克雷逼近定理指出，对于任意无理数 $x$ ，存在无穷多个有理数 $p / q$ 满足 $∣ x - p / q ∣ \leq 1/ q^{2}$ 。这是一个“标准”的逼近速度。本问题探讨的是那些可以被“异常好”地逼近的数，即逼近速度达到 $1/ q^{2 + ϵ}$ （其中 $ϵ > 0$ ）。直观上，满足这种更苛刻条件的数应该更加“稀少”。博雷尔-坎泰利 (Borel-Cantelli) 引理正是将这种“稀少”的概率直观转化为测度论中“零测集”这一严格概念的桥梁。其核心思想是，如果一系列“坏事件”发生的概率（测度）之和是有限的，那么无穷多个“坏事件”同时发生的概率（测度）就是零。

1. 问题的形式化

定义1

我们所研究的集合 $E$ 被定义为所有能被无穷多个有理数进行异常好逼近的实数： $E = {x \in R \forall N, \exists (p, q) \in Z \times Z^{+} s.t. q > N, g cd (p, q) = 1, x - \frac{p}{q} \leq \frac{1}{q ^{3}}}$ 我们将证明该集合的勒贝格测度 $m (E) = 0$ 。

2. 证明框架

2.1 简化问题：

我们首先将证明目标从整个实轴 $R$ 上的集合 $E$ 简化到单位区间 $[0, 1]$ 上的子集 $E_{0} = E \cap [0, 1]$ 。

令 $E_{k} = E \cap [k, k + 1]$ 。对于任意 $x \in E_{k}$ ，其平移 $x - k$ 满足：

∣ (x - k) - (p - k q) / q ∣ = ∣ x - p / q ∣ \leq 1/ q^{3}

这意味着 $x - k$ 满足类似的逼近条件，故 $x - k \in E_{0}$ 。这表明 $E_{k}$ 是 $E_{0}$ 的一个平移，因此由测度的平移不变性，有 $m (E_{k}) = m (E_{0})$ 。

由于 $E = ⋃_{k \in Z} E_{k}$ ，由测度的可数次可加性，我们得到：

m (E) \leq k \in Z \sum m (E_{k})

若能证明 $m (E_{0}) = 0$ ，则 $m (E) \leq \sum_{k \in Z} 0 = 0$ ，故 $m (E) = 0$ 。因此，问题转化为证明 $m (E_{0}) = 0$ 。

2.2 构造“坏集”序列

为了应用Borel-Cantelli引理，我们为每个分母 $q \in Z^{+}$ 定义一个“坏集” $A_{q}$ ，她由所有能被分母为 $q$ 的有理数很好地逼近的点构成。 $A_{q} = ⋃_{p = 0}^{q} ([\frac{p}{q} - \frac{1}{q ^{3}}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q ^{3}}] \cap [0, 1])$

根据 $E_{0}$ 的定义，若 $x \in E_{0}$ ，则 $x$ 必定属于无穷多个 $A_{q}$ 。这在集合论中意味着： $E_{0} \subseteq lim sup_{q \to \infty} A_{q} = ⋂_{N = 1}^{\infty} ⋃_{q = N}^{\infty} A_{q}$

2.3 估计测度 $m (A_{q})$

我们利用测度的次可加性来估计 $m (A_{q})$ 的上界。 $m (A_{q}) \leq \sum_{p = 0}^{q} m ([\frac{p}{q} - \frac{1}{q ^{3}}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q ^{3}}])$ 其中每个小區間的長度為 $2/ q^{3}$ ，共有 $q + 1$ 个这样的区间。 $m (A_{q}) \leq (q + 1) \cdot \frac{2}{q ^{3}} = \frac{2}{q ^{2}} + \frac{2}{q ^{3}}$

2.4 验证级数收敛

我们检验Borel-Cantelli引理的核心条件： $\sum_{q = 1}^{\infty} m (A_{q}) \leq \sum_{q = 1}^{\infty} (\frac{2}{q ^{2}} + \frac{2}{q ^{3}}) = 2 (\sum_{q = 1}^{\infty} \frac{1}{q ^{2}} + \sum_{q = 1}^{\infty} \frac{1}{q ^{3}})$ 由于p-级数 $\sum 1/ q^{p}$ 在 $p > 1$ 时收敛，而此处的 $p$ 分别为2和3，故上述级数收敛。 $\sum_{q = 1}^{\infty} m (A_{q}) < \infty$

3. 结论

定理1

设 ${A_{q}}$ 为一列事件（可测集），若 $\sum_{q = 1}^{\infty} m (A_{q}) < \infty$ ，则 $m (lim sup_{q \to \infty} A_{q}) = 0$ 。

由于我们已经验证了 $\sum m (A_{q})$ 收敛，应用此引理可得： $m (lim sup_{q \to \infty} A_{q}) = 0$ 又因 $E_{0} \subseteq lim sup A_{q}$ ，根据测度的单调性，有 $m (E_{0}) \leq m (lim sup A_{q}) = 0$ 。由于测度非负，必有 $m (E_{0}) = 0$ 。最终，根据2.1的简化结论，我们证明了 $m (E) = 0$ 。

4. 一般化至 $1/ q^{2 + ϵ}$

若将逼近条件改为 $∣ x - p / q ∣ \leq 1/ q^{2 + ϵ}$ ，其中 $ϵ > 0$ 。整个证明框架保持不变，仅在2.3中对 $m (A_{q})$ 的估计发生改变： $m (A_{q}) \leq (q + 1) \cdot \frac{2}{q ^{2 + ϵ}} \sim O (\frac{1}{q ^{1 + ϵ}})$ 对应的级数变为 $\sum 1/ q^{1 + ϵ}$ ，这是一个p-级数，其中 $p = 1 + ϵ > 1$ ，故仍然收敛。因此，结论对于任意 $ϵ > 0$ 均成立。

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