和的估计除了逐项放缩和夹逼定理以外最常见的一个思路就是利用黎曼积分与黎曼和替换函数

问题1

求极限 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{( n + k ) ( n + k + 1 )}{n ^{2}}$

第一反应是分母上的 $n^{2}$ 过于显眼，需要把它移到根号里面，变成： $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (1 + \frac{k}{n}) (1 + \frac{k + 1}{n})$ 到这里已经初见黎曼和的形式，不过 $k + 1$ 很碍事，我们可以设 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (1 + \frac{k}{n}) (1 + \frac{k + 1}{n})$ 则 $S_{n}^{'} = \sum_{k = 1}^{n} (1 + \frac{k}{n})$ 这样一来问题就变成了计算 $S_{n}^{'}$ 的极限。然后对它进行误差估计

由黎曼积分与黎曼和可以得到： $s_{n}^{'} = \int_{0}^{1} (1 + x) d x + o (\frac{1}{n}) = \frac{2}{3} + o (\frac{1}{n})$

我们接着估计误差：

S_{n}^{'} - S_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n 1 + \frac{k}{n} (1 + \frac{k + 1}{n} - 1 + \frac{k}{n}) = \frac{1}{n} k = 1 \sum n 1 + \frac{k}{n} \frac{1}{2 n 1 + \frac{k}{n}} = \frac{1}{2 n} \to o (\frac{1}{n})

对于这道题来说放缩精度要求不是很高，也可以直接尝试夹逼

问题2

求极限 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n ^{2} + k ^{2} + 1}$

和上面同一个思路

$S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k ^{2} + 1}{n ^{2}}} S_{n}^{'} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k ^{2}}{n ^{2}}}$ 则 $S_{n}^{'} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x + o (\frac{1}{n}) = \frac{π}{4}$

接着估计误差

S_{n}^{'} - S_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{1}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}} - \frac{1}{1 + \frac{k ^{2} + 1}{n ^{2}}}) = n k = 1 \sum n \frac{1}{( n ^{2} + k ^{2} ) ( n ^{2} + k ^{2} + 1 )} \leq \frac{1}{n ^{2}} \to o (\frac{1}{n ^{2}})

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