第一同构定理

0. 范畴论当中的第一同构定理

假设 $C$ 是一个正规范畴， $f : A \to B$ 是 $C$ 当中的任意一个态射(某种保持结构的映射)，那么其可以分解为:

等价关系: 这里的等价关系是取决于态射 $f$ 的，具体来说就是我们定义对象 $A$ 当中的两个元素 $a, a^{'}$ 在态射 $f$ 下具有某种满足自反，对称和传递性的二元关系 $\sim$ ，即 $f (a) = f (a^{'}) ⟺ a \sim a^{'}$ 然后我们用 $[a]_{\sim}$ 表示等价关系 $\sim$ 下的所有与 $a$ 等价的元素，即等价关系 $\sim$ 下的一个代表元为 $a$ 的等价类。所有等价类的集合，称之为集合 $A$ 的商集，记为 $A / \sim$ 。
商映射(quotient map): 所谓商映射实际上就是，从 $A$ 到自己的等价关系 $\sim$ 对应下的商对象 $A / \sim$ 之间的一个满态射(epimorphism)： $q : A ↠ (A / \sim)$ 也就是 $a \mapsto [a]_{\sim}$ 。
商与像之间的同构: 这里的同构的定义是: $f \sim ([a]_{\sim}) := f (a)$ 当我们说态射 $f \sim$ 是同构，我们指的是它存在一个逆态射， $(f \sim)^{- 1}$ 使得 $(f \sim)^{- 1} \circ f \sim = id_{A / \sim}$ 同时 $f \sim \circ (f \sim)^{- 1} = id_{im f}$ 。
最后的嵌入: $i : im f ↪ B$

上面相当于说范畴 $C$ 当中任意态射 $f$ 都可以分解为 $f = i \circ f \sim \circ q$ 其中如果我们把 $f \sim \circ q$ 视为一个满态射， $i$ 是一个单态射，这相当于是对 $f$ 进行epi-mono分解，这件事并不能在任意范畴内进行，不过在正规范畴内是可行的。好在正规范畴已经涵盖了大多数我们需要讨论的范畴：

$Set$ 集合范畴: 集合范畴的对象就是集合，而态射则是集合之间的映射。
$Grp$ 群范畴：所有群以及群之间的同态构成的范畴。也就是说这个范畴当中的对象都是群，而态射就是各种群同态。
$Ring$ 环范畴:所有的环，以及环之间的环同态构成的范畴。
$Mod_{R}$ ,R-模的范畴:所有R-模以及他们之间的模同态的范畴。
$Vect_{K}$ ,域 $K$ 上的向量空间的范畴:所有域 $K$ 上的向量空间以及他们之间的线性映射的范畴。于是下面我们可以写出这些具体范畴上的第一同构定理。

1. 群上的第一同构定理

在群范畴 $Grp$ 当中任意一个态射 $φ : G \to G^{'}$ 是群 $G$ 到群 $G^{'}$ 之间的群同态，于是根据正规范畴的第一同构定理，可以得到:

等价关系: 按照我们一开始的分析，等价关于被定义为 $a \sim b ⟺ φ (a) = φ (b) ⟺ φ (a) φ (b)^{- 1} = 1_{G^{'}} ⟺ φ (a b^{- 1}) = 1_{G^{'}} ⟺ a b^{- 1} \in ker φ$ 这里因为 $ker φ$ 是群 $(G, \cdot)$ 的一个子群，于是所有在该同态下与某个群元素 $a$ 同属于一个等价类的群 $G$ 当中的元素可以用陪集 $a ker φ := {a \cdot g : g \in ker φ}$ 来进行表示。然后我们可以把 $G / \sim$ 写成是 $G / ker φ$ 。
商映射: 我们可以在商集 $G / ker φ$ 上定义二元运算，从而使得 $(G / ker φ, *)$ 是一个群，称之为商群。群元素，也就是陪集之间的运算被定义为 $(a ker φ) * (b ker φ) = (a \cdot b) ker φ$ 那么商映射 $q$ 实际上是 $a \mapsto a ker φ$ 的满的群同态。
商与像之间的同构:

按照上面一样的逻辑很自然的有一个同构 $φ \sim$ 被定义为: $φ \sim (a ker φ) = φ (a)$ 而实际上我们很容易就能看出则是一个群同构。因为 $φ \sim$ 的确是 $G / ker φ, im φ$ 这两个群之间的群同态并且还是一个双射，因此

G / ker φ ≃ im φ

最后的嵌入: $i : im φ ↪ G^{'}$ 很显然，因为 $im φ \subset G^{'}$ 是最后目标的群 $G^{'}$ 的一个子群。当然如果我们知道 $φ$ 本身就是一个满同态，也就是说 $im φ = G^{'}$ ，那么第三步同构的结果就变成了:

G / ker φ ≃ G^{'}

1.1 一些具体的例子

例子1:实数模1与单位圆周的同构

具体的考虑实数的加法群 $(R, +)$ 到复数平面的映射 $f (x) = e^{2 π i x}$ ，这会产生 $(R / Z, +)$ 与单位圆周上的乘法群的同构 $(S^{1}, \times)$ 因为:

R ↠ R / Z > \to \sim S^{1} ↪> C

2. 线性空间的第一同构定理

在域 $K$ 的线性空间的范畴 $Vect_{K}$ 中考虑任意一个态射 $T : V \to W$ ,也就是 $V, W$ 在两个域 $K$ 上的线性空间之间的一个线性映射。那么按照正规范畴的第一同构定理，我们有下面的交换图:

等价关系: 两个向量 $v, v^{'}$ 在线性映射 $T$ 下是等价的被定义为他们对应相同的像当中的元素，即 $v \sim v^{'} ⟺ T (v) = T (v^{'}) ⟺ T (v) - T (v^{'}) = 0_{W} ⟺ T (v - v^{'}) = 0_{W} ⟺ v - v^{'} \in ker T$ 所有与某个向量 $v$ 等价的向量组成一个等价类，这个等价类被定义为 $v + ker T := {v + r : r \in ker T}$ 也即是说每一个等价类都是一个平行于线性子空间 $ker T$ 的一个仿射空间。
商映射: 这里的商映射自然是 $v \mapsto v + ker T$ 的一个线性映射。因为我们可以定义平行于同一个线性子空间的仿射空间之间的线性运算，所以这些仿射空间的集合 $V / ker T$ 构成一个新的线性空间。于是商映射 $q$ 现在是线性空间之间的满线性映射。
同构: 同构映射被定义为 $T \sim (v + ker T) = T (v)$ .因为线性映射 $T$ 的像也是线性空间，于是则是线性空间之间的线性同构： $V / ker T ≃ im T$
嵌入: $i : im T ↪ W$ 当然如果本身线性映射 $T$ 就是一个满线性映射，那么上面的线性同构因为 $i$ 变成了恒等映射，于是 $V / ker T ≃ W$

Rank-nullity定理：在有限维的假设下，即如果我们假设 $dim (V) = n, dim (W) = m$ 那么我们可以利用第一同构定理的结果，再因为线性同构的两个有限维线性空间维度相等，于是: $dim (V / ker T) = dim (im T)$ 然后利用

商空间的维度公式

$V$ 是一个有限维线性空间 $W$ 是其一个线性子空间，那么商空间 $V / W$ 的维度是: $dim (V / W) = dim (V) - dim (W)$ 这是因为, 不失一般性假设 ${e_{1}, ..., e_{n}}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，而其中 ${e_{1}, ..., e_{s}}$ 是子空间 $W$ 的基，那么实际上对于任意 $v \in V$ 商空间当中的元素可以表示为 $v + W = i \leq n \sum a_{i} e_{i} + W = i \leq n \sum a_{i} (e_{i} + W) = s + 1 \leq i \leq n \sum a_{i} (e_{i} + W)$ 并且后者是线性无关的，于是我们可以说 $V / W = Span {e_{s + 1} + W, ..., e_{n} + W}$ 所以维度恰好就是 $V$ 与 $W$ 维度之差。

我们就可以得到： $dim (V / ker T) = dim (V) - dim (ker T)$ 于是便有: $dim (V) = dim (ker T) + dim (im T)$

笔记目录

0. 范畴论当中的第一同构定理

1. 群上的第一同构定理

1.1 一些具体的例子

2. 线性空间的第一同构定理

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