不适用于逐项估计求和的极限的例子

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求含参数和的极限${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+f(k)}$其中$f(k):=\frac{2k(k-1)}{2k-1}$。

这里我们首先要面临的一个决策是，我们究竟是利用逐项估计还是和的积分估计？

我们首先来审视第一种方法，本质上我们是对 $\frac{1}{n+f(k)}=\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{f(k)}{n}}$ 用$\frac{1}{1+x}$的taylor展开，那么要保证$|x|<1$。也就是说，只要需要保证$k=1,\cdots ,n$对任意的正整数$n$都有$|\frac{f(k)}{n}|<c<1$才能保证展开是有意义的。

其次假设上面的要求可以被满足，那么$\begin{array}{rl}\frac{1}{n+f(k)}& =\frac{1}{n}\left(1+\frac{f(k)}{n}+O\left(\frac{f^2(k)}{n^2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{n}+\frac{f(k)}{n^2}+O\left(\frac{f^2(k)}{n^3}\right)\end{array}$要求这个对象关于$k$从1到$n$的和的极限，即一个$A+o(1)$的结果，我们最好是能保证${\sum }_{k=1}^n{f}^2(k)$是一个$o(n^3)$的和，这样就可以得到${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+f(k)}=1+\frac{1}{n^2}{\sum }_{k=1}^{n}f(k)+o(1)$从而只要求出${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}{\sum }_{k=1}^{n}f(k)$就可以做出来。可以验证此处$f(k):=\frac{2k(k-1)}{2k-1}$并不是一个符合上述条件的函数，所以一般简单的逐项估计很难求出对应的和的极限。

然后我们审视第二种做法，本质上来说是把被求和对象的参数$n$固定下来，然后把被求和对象视为一个含参数的函数$g_n(k):=\frac{1}{n+f(k)}$然后用${\int }_1^n{g}_n(x)dx$的积分来近似含参数的和，只要余项是$o(1)$的就可以得到极限。不过此处因为$f(k)$的表达式比较复杂，积分未必很容易求。但是由和的估计的经典例子我们实际上不难知道${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\to \log (2)$而此处因为$g(k)=k+O(1)$，因此自然就会想，这两个含参数和之间误差是否会是$o(1)$的，从而二者极限相等。

实际上我们的猜测是正确的，并且我们可以严格证明这件事。考虑下面的估计$\begin{array}{rl}\left|\frac{1}{n+f(k)}-\frac{1}{n+k}\right|& =\left|\frac{k-f(k)}{(n+f(k))(n+k)}\right|\\ & <C\left|\frac{1}{(n+f(k))(n+k)}\right|\\ & <C\left|\frac{1}{n(n+1)}\right|\end{array}$对上界估计求和，我们知道两个和之误差是$O(1/n)$级别的，因此对于求含参数的和的极限这个问题来说，它们的极限是一样的，因此极限就是$\log (2)$。