单调有界函数几乎处处连续

命题

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$是单调有界函数，那么函数是几乎处处连续的函数。

1. 证明

对于单调函数而言不连续点只有可能是第一类的间断点，因此考虑是否连续无非就是$f(a^{+})={\lim }_{x\to a^{+}}f(x),f(a^{-})={\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$这二者是否相等。

按照an epsilon of room证明集合为0测度的策略这里面的方法，我们首先要把需要证明的命题转换为一个集合的测度问题，不失一般性假设函数是单调增加的,于是命题相当于是证明$E=\{x:f(x^{+})-f(x^{-})>0\}$此集合是零测度的集合。于是按照上面的方法，实际上我们只需要对于任意的$r>0$证明，$E_r=\{x:f(x^{+})-f(x^{-})\ge r\}$ 这个集合是零测度的即可。对于这类问题，简单的问题可以直接证明，而稍微复杂一些的问题则需要找相应的弱估计。

很容易看出$E_r$根本就是一个有限集合,因为

1. $\forall x\in (a,b),[f(x^{-}),f(x^{+})]\subseteq [f(a),f(b)]$
2. $x,y\in (a,b)$并且二者不同，那么$(f(x^{-}),f(x^{+}))\cap (f(y^{-}),f(y^{+}))=\varnothing$

假设我们可以从$E_r$当中挑选出$n$个不同的不连续点出来，那么${\sum }_{i\le n}|f(x_i^{+})-f(x_i^{-})|\le f(b)-f(a)$ 那么$nr\le f(b)-f(a)$。这便注定我们不能选出任意多个不同的这种不连续点出来，当$r$固定的情况下，因此这个集合只能是一个有限集，从而显然是零测度的。

2. 有界变差函数也是几乎处处连续的

命题2

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$是有界变差函数，那么函数是几乎处处连续的函数。

因为我们可以证明$[a,b]$上的有界变差函数等价于两个有界单增函数的差。