图像闭区间上的凸函数几何性质的一个命题

[!命题0] 函数$f:[0,1]\to \mathbb{R}$是一个凸函数满足${\int }_0^{1}f(x)dx=0$那么$|f(x)|\le \max \{f(0),f(1)\}$

整个问题基于对下面这样一个草图的观察

• 这个图没有绘制x轴的位置，它可能出现在最低点$(x_m,m)$到最高点$\max \{f(0),f(1)\}$之间的任何位置。此外虽然图像上$f(1)>f(0)$但实际上也有可能是$f(0)\le f(1)$。

观察1

整个$[0,1]$上$f(x)$对应的函数曲线都落在连接点$(0,f(0))$以及$(1,f(1))$这两个点的线段$\ell (x)$的下方。也就是说$f(x)\le (1-x)f(0)+xf(1),\forall x\in [0,1]$令$M:=\max \{f(0),f(1)\}$于是

• 事实上对于有经验的人而言，这是一个关于凸函数的常识。其一般情形可以归纳为：凸函数在闭区间（或一般地说，紧集）上的最大值必然存在，且出现在闭区间的端点处（或一般地说，extreme point）。详细参考凸函数在闭区间上的最大值一定落在端点上。

根据以上观察我们意识到，整个问题的关键在于证明$f(x)$的最小值$m$一定是符合

这个性质并不是对任意凸函数都成立，这个结论是因为${\int }_0^{1}f(x)dx=0$这个约束条件导致的。于是我们想到，要么假设$(2)$成立导出积分为0条件的矛盾，要么积分为0的限制可以直接导出$(2)$。

观察2

如果我们假设x轴在整个图像的下方。虽然对于此命题而言根本不可能，但是为了直观我们暂时忽略掉${\int }_0^{1}f(x)dx=0$的限制。我们很容易观察到左边红色的梯形面积大于左边的曲边梯形的面积，即函数$f(x)$在$[0,x_m]$上的积分。右边蓝色的梯形面积大于右边的曲边梯形面积，即函数在$[0,x_m]$上的积分。那么根据梯形的面积公式，我们能得到一个用函数在$[0,1]$上的积分来约束$m$的大小的不等式。

当然以上观察是不严谨的，不过这种几何直观倒是对应着严格的结果，即Hermite-Hadamard不等式（参考Hermite-Hadamard不等式与函数凸性）这个不等式无所谓x轴究竟在什么位置，只要函数是凸函数，不等式便必然成立。

1. 对$0,x_m$这两点用Hermite-Hadamard不等式的第三条$(x_m-0)\cdot \frac{f(x_m)+f(0)}{2}\ge {\int }_0^{x_m}f(x)dx$
2. 对$x_m,1$这两点用Hermite-Hadamard不等式的第三条$(1-x_m)\cdot \frac{f(1)+f(x_m)}{2}\ge {\int }_{x_m}^{1}f(t)dt$ 合并以上两点，并利用${\int }_0^{1}f(x)dx=0$以及$f(x_m)=m$于是得到$x_m(m+f(0))+(1-x_m)(f(1)+m)\ge 0$当然我们是为了得到$-m$的上界而来，因此把不等式变形为$-m\le x_{m}f(0)+(1-x_m)f(1)⟹-m\le M$于是我们便得到了我们想要的$(2)$于是“命题0”便得到了证明。