傅里叶逆变换公式

1. 从复分析的角度上理解

可延拓为带状区域上满足衰减条件的全纯函数的实函数

$f\in \mathcal{S}$,指的是存在某个正实数$a$使得$f\in {\mathcal{S}}_a$满足:

1. 函数$f$可以解析延拓为在带状区域$S_a:=\{z\in \mathbb{C}:|\text{Im}(z)|<a\}$上全纯的函数$f(z)$。
2. $f(z)$满足衰减的条件:$|f(x+iy)|{\lesssim }_{b,f}\frac{1}{1+|x{|}^{\alpha }}$其中$\alpha >1$,$|y|\le b<a$

当前版本下的傅里叶逆变换公式

$f\in \mathcal{F}$,那么${\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }d\xi =f(x)$

对于上面这种一元函数实函数而言，我们可以从它的解析延拓上来理解它。

按照an epsilon of room当中的把无穷问题转换为有限问题的角度来思考此问题，自然我们向建立${\int }_{-R}^R\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }d\xi$以及$f(x)$之间的关系。

1.1 从柯西积分公式出发

而我们首先想到$f(x)$作为复平面上实轴上的点$x$处的函数的取值，可以结合柯西积分公式得到$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_R}\frac{f(z)}{z-x}dz=f(x)$

1.2 展开然后交换

那么上面的这个式子与$\hat{f}(\xi )$之间又有什么关系呢？我们想到在2.1 函数的傅里叶变换指数级衰减当中我们通过建立起了一个关系$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u-ib)e^{-2\pi i(u-ib)\xi }du$考虑到和与积分换序，我们可以尝试把这个结果带入到傅里叶逆变换公式的被积分对象当中，然后交换次序。

于是我们完全可以把图1当中的矩形的路径${\gamma }_R$理解为两个类似于图2当中的半个矩形的积分路径的差，假设图2的路径为${\gamma }_{R_2}$，那么${\gamma }_R={\gamma }_{R_1}-{\gamma }_{R_2}$现在可以尝试把这个式子带入到傅里叶逆变换的一半的公式里面，之所以是一半，是因为计算到最后的时候会出现

如果我们令复数$s=2\pi b+i(2\pi u-2\pi x)$那么这就是一个对常函数$1$做lapalce变换，从而结果就是$1/s$。 同样的道理，如果傅里叶逆变换公式的另一半去计算就会得到

那么参考${\gamma }_{R_2}$当中的行为，我们也可以建立起实轴上半部分的矩形的积分路径${\gamma }_{R_1}$的公式（通过柯西定理，并且取极限）: $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u-ib)e^{-2\pi i(u-ib)\xi }du$ 同样的方式我们可以得到:${\int }_{-\infty }^0\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }d\xi ={\lim }_{R\to \infty }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{R+ib\to -R+ib}\frac{f(z)}{z-x}dz$ 同时考虑到${\gamma }_R$当中，两条垂直于实轴的路径的积分关于参数$R$是$o(1)$的，于是在对$R$取极限的意义下，真正有贡献的也就是上面两段路径的积分。于是${\int }_{-\infty }^{+\infty }\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }d\xi ={\lim }_{R\to \infty }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_R}\frac{f(z)}{z-x}dz$而1.1当中我们通过柯西积分公式已经知道右边虽然积分路径带参数$R$但其积分的结果根本与$R$没有任何关系，因为它的结果就是$f(x)$.于是便得到:${\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }d\xi =f(x)$