可微性

核心

数学分析中的可微性过于脆弱，为了推广他仅仅依靠$3ϵ$语言又是远远不够的，因此我们需要一套全新的证明思路

1. 弱型估计

1.1 Vitali覆盖引理的思路

从一个玩具模型开始

令$f\in L_{loc}^1({\mathbb{R}}^d)$，定义$Mf(x):={\sup }_{r>0}\frac{1}{|B(x,r)|}{\int }_{B(x,r)}|f(y)|dy$其中$|E|$表示$d$维的Lebesgue测度。

Maximal函数的弱型估计

对任意正整数$d$，存在一个正实数$C_d$使得对任意$\alpha >0,f\in L^1({\mathbb{R}}^d)$都有$m(\{x:Mf(x)>\alpha \})<\frac{C_d}{\alpha }||f|{|}_{L^1({\mathbb{R}}^d)}$

想法1.1.3

其基本想法是一种广义程度上的“逐项估计”。令$E_{\alpha }:=\{x:Mf(x)>\alpha \}$那么任意$x\in E_{\alpha }$按照定义一定存在一个包含$x$的球$B_x$使得$\frac{1}{m(B_x)}{\int }_{B_x}|f(y)|dy>\alpha ⟹m(B_x)<\frac{1}{\alpha }{\int }_{B_x}|f(y)|dy$如此一来我们便建立起了集合$E_{\alpha }$的任意一个点的邻域上对应测度的上界估计，接下来如果我们可以把这种估计合起来，变成一种全局的估计，问题就可以被解决。

引理1.1.4:Vitali覆盖引理（Vitali,1908）

设$\mathcal{B}:=\{B_1,\cdots ,B_N\}$是${\mathbb{R}}^d$当中的$N$个开球，那么$\mathcal{B}$当中存在$L$个不互不相交的球$B_{k_1},\cdots ,B_{k_L}$满足$m\left({\bigcup }_{k=1}^N{B}_k\right)\le 3^d{\sum }_{j=1}^{L}m(B_{k_j})$

整个证明基于下面的想法实现：

想法1.1.5

如果$B,B^{\prime }$是两个相交的球，并且其中$B$的半径大于等于$B^{\prime }$的半径，那么这两个球都可以被包含在一个以$B$的球心为球心，半径是$B$的三倍的大球$\tilde{B}$当中。如图所示：

那么对于$\mathcal{B}$当中的球，我们可以挑选一个半径最大的$B_{k_1}$，按照图中的原理，所有与$B_{k_1}$相交的球，其半径都不超过$B_{k_1}$的半径，并且都被包含在$3B_{k_1}$当中。

1. 如果$\mathcal{B}$当中所有球都与$B_{k_1}$相交，那么${\bigcup }_{k=1}^N{B}_k\subset 3B_{k_1}$于是$m\left({\bigcup }_{k=1}^N{B}_k\right)\le m(3B_{k_1})$
2. 如果$\mathcal{B}$当中有些球与$B_{k_1}$不相交，那么可以在$\mathcal{B}$当中去除$B_{k_1}$以及所有与$B_{k_1}$相交的球之后剩下的球当中，再挑选一个半径最大的球，设为$B_{k_2}$。那么根据上面的原理，所有与$B_{k_2}$相交的球包括$B_{k_2}$本身都会被包含在$3B_{k_2}$当中，并且$B_{k_1},B_{k_2}$不相交。
3. 以此类推，我们可以选出$B_{k_1},B_{k_2},\cdots ,B_{k_L}$，它们两两互不相交，并且${\bigcup }_{k=1}^N{B}_k\subset {\bigcup }_{j=1}^{L}3B_{k_j}$于是$\begin{array}{rl}m\left(\bigcup _{k=1}^N{B}_k\right)& \le m\left(\bigcup _{j=1}^{L}3B_{k_j}\right)\\ & \le \sum _{j=1}^{L}m(3B_{k_j})\\ & \le 3^d\sum _{j=1}^{L}m(B_{k_j})\end{array}$

这个过程可以概括如下：

2.核心证明

对于更一般的情况问题变得更加复杂，原因在于我们无法量化集合B，因此一个直观的思路就是取集合 $E_{\alpha }=\{x:{\lim }_{m(b)\to 0,x\in B}sup|\frac{1}{m(B)}{\int }_{B}f(y)dy-f(x)|>2\alpha \}$ 这里的2是后期取值。

我们很容易想到常见的用函数逼近的$3ϵ$技巧，即利用

$E={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_{\frac{1}{n}}||f-g|{|}_{L^1(R^d)}<ϵ$ 化简：

$\frac{1}{m(B)}{\int }_{B}f(y)dy-f(x)\le |\frac{1}{m(B)}{\int }_{B}f(y)-g(y)dy|+|\frac{1}{m(B)}{\int }_{B}g(y)dy-g(y)|+|f(x)-g(y)|$

其中第一项趋于0，第二项$(f-g{)}^{\ast }$第三项$|f-g|$,那么我们分别有 $m(F_{\alpha })=m(\{x:(f-g{)}^{\ast }>\alpha \})\le \frac{1}{ϵ}||f-g|{|}_{L^1(R^d)}$ $m(G_{\alpha })=m(\{x:|f-g|>\alpha \})\le \frac{3^d}{ϵ}||f-g|{|}_{L^1(R^d)}$

那么$E_{\alpha }$就能被完美表示 $E_{\alpha }\subset (F_{\alpha }\cup G_{\alpha })m(E_{\alpha })\le \frac{(A+1)ϵ}{\alpha }$ 对于局部可积的条件它仍然满足，即$f\in L_{loc}^1(R^d)$