可测集合线性变换后的测度

命题0

考虑一个测度空间$({\mathbb{R}}^d,\mathcal{L}({\mathbb{R}}^d),m)$，其中$\mathcal{L}$是${\mathbb{R}}^d$中的全体Lebesgue可测集合构成的$\sigma -$代数，$m$表示Lebesgue测度。此测度空间上有一个可测集合$E\in \mathcal{L}$,以及一个线性变换$L:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$，那么此集合本身的测度与线性变换以后的测度满足关系:$m(L(E))=|\det (L)|m(E)$

1. 线性变换会改变可测性吗？

命题1

如果$E\in \mathcal{L}$，那么$L(E)\in \mathcal{L}$,也就是说线性变换并不会改变集合的Lebesgue可测性。

按照定义，我们无非就是知道集合$E$可以被开集$O_{\epsilon }$从外面逼近，现在我们想要知道是否$L(E)$也有这样的性质。我们意识到，是否能使得$L(E)$继承来自$E$的可测性取决于线性映射$L$的性质,可是线性映射有很多好的性质，为了实现目标，我们应该从哪个性质入手呢？

我们想到$L(O_{\epsilon })-L(E)\subset L(O_{\epsilon }-E)$并且$m^{\ast }(O_{\epsilon }-E)\le \epsilon$，以及$m^{\ast }\left(L(O_{\epsilon })-L(E)\right)\le m^{\ast }\left(L(O_{\epsilon }-E)\right)$那么如果：

1. 如果线性变换后的集合的外测度可以被变换之前的集合的外测度控制起来，从而使得$m^{\ast }\left(L(O_{\epsilon })-L(E)\right)\le m^{\ast }\left(L(O_{\epsilon }-E)\right)\le C\epsilon$
2. 如果$L(O_{\epsilon })$恰好也是一个开集。 如果以上两件事能同时成立，那么命题1也就解决了。

利用线性变换的Lipschitz性

对于线性变换$L$，一定存在一个常数$M$使得任意$x,y\in {\mathbb{R}}^d$满足$||L(x)-L(y)||\le M||x-y||$其中$||\cdot ||$是${\mathbb{R}}^d$中的欧氏范数。下面我们证明:

命题2

对任意$A\subset {\mathbb{R}}^d$，以及${\mathbb{R}}^d$线性变换$L$，那么存在一个与维度$d$有关的常数$C_d$使得线性变换前后的集合的Lebesgue外测度满足$m^{\ast }(L(A))\le C_d{m}^{\ast }(A)$

集合$A$，以及任意$\epsilon >0$而言，存在一个开集$O_{\epsilon }$由可数个$d$维的开的超立方体构成$A\subset O_{\epsilon }={\cup }_{i\ge 0}{Q}_{i,\epsilon }^0$并且满足${\sum }_{i\ge 1}|Q_{i,\epsilon }^0|\le m^{\ast }(A)+\epsilon$ 对于每个超立方体而言其体积就是其外测度（Lebesgue外测度就是通过立方体的覆盖的体积来定义的），于是由线性变换的Lipschitz性$m^{\ast }(L(Q_{i,\epsilon }^0))\le 2\sqrt{d}M{m}^{\ast }(Q_{i,\epsilon }^0)$因此利用外测度的基本性质$\begin{array}{rl}{m}^{\ast }(A)& \le m^{\ast }(L(O_{\epsilon }))\\ & =m^{\ast }(L({\cup }_{i\ge 0}{Q}_{i,\epsilon }^0))\\ & \le m^{\ast }({\cup }_{i\ge 0}L(Q_{i,\epsilon }^0))\\ & \le \sum _{i\ge 0}{m}^{\ast }(L(Q_{i,\epsilon }^0))\\ & \le 2\sqrt{d}M\sum _{i\ge 0}{m}^{\ast }(Q_{i,\epsilon }^0)\\ & \le C_d{m}^{\ast }(A)+C_d\epsilon \end{array}$这对任意的$\epsilon >0$成立，于是$m^{\ast }(L(A))\le C_d{m}^{\ast }(A)$

那么这个结果的一个推论就是，如果集合是零测度的集合，那么经过线性变换以后依旧是零测度的。那么关于命题1，如果集合$E$是Lebesgue可测的，那么由于$m^{\ast }(O_{\epsilon }-E)\le \epsilon$，因此一定有$m^{\ast }\left(L(O_{\epsilon }-E)\right)\le C_d\epsilon$

2. 从内外测度的角度入手证明

整个证明的思路和积分伸缩非常类似，其主要想法可以总结为:

主要的想法

主要想法基于：该性质在超立方体上都是成立的，那么这种性质应该是可以通过Lebesgue外测度的定义推广到Lebesgue测度的意义下成立。具体来说，我们需要给外测度$m^{\ast }(T(A))$一个上界，以及$m_{\ast }(T(A))$一个下界，而如果上界和下界是相等的，那么我们就同时证明了可测性以及，命题0当中的式子。