基于分部求和法的和的估计

基本想法

当我们处理某个部分和$S_{M,N}$的时候，如果我们发现被求和对象可以写成乘积的形式以至于部分和$S_{M,N}$可以写成$S_{M,N}:={\sum }_{n=M}^N{a}_n{b}_n$并且我们假设其中$a_n,b_n$满足假设:

1. 其中形式较为简单的对象$a_n$，其差分序列$a_{n+1}-a_n$是较为简单的。
2. 其中$b_n$的形式虽然较为复杂，但是其部分和$B_N:={\sum }_{n=M}^N{b}_n$对我们而言是熟悉的(通过其他方式获取到的，或者已知估计的)

此时我们可以借助部分和$B_N$以及差分$a_{n+1}-a_n$的估计来间接地得到$S_N$的估计。

1. 离散版本的分部求和

主要是处理形如${\sum }_n{a}_n{b}_n$这样的级数，或者${\sum }_n{a}_n(z)b_n(z)$这样的函数项级数的估计，例如判断是否收敛。

我们先从一个简单的例子开始。

例子1.1

求${\sum }_{k=1}^{n}k{2}^k$的和的封闭表达式。

这个问题当中一种观点是可以把$k$视为是一个求和，然后交换，基本思想参考和与积分换序。

$\begin{array}{rl}\sum _{k\le n}k{2}^k& =\sum _{k\le n}{2}^k\sum _{i\le k}1\\ & =\sum _{i\le n}\sum _{k\le n}{2}^k{\chi }_{i\le k}\\ & =\sum _{i\le n}\sum _{i\le k\le n}{2}^k\\ & =\sum _{i\le n}\left(2^{n+1}-2^i\right)\\ & =n{2}^{n+1}-2^{n+1}+2\end{array}$ 这根本上是分部求和法。我们不妨把上述过程给一般化，假设我们要求$A_n={\sum }_{k\le n}{a}_k{b}_k$,然后假设$b_n$的前n项和为$S_n$,然后假设$a_k={\sum }_{i\le k}{c}_i$,于是我们重复上述过程: $\begin{array}{rl}\sum _{k\le n}{a}_k{b}_k& =\sum _{k\le n}{b}_k\sum _{i\le k}{c}_i\\ & =\sum _{i\le n}\sum _{k\le n}{c}_i{b}_k{1}_{i\le k}\\ & =\sum _{i\le n}{c}_i\sum _{i\le k\le n}{b}_k\\ & =\sum _{i\le n}{c}_i\left(S_n-S_{i-1}\right)\\ & =a_n{S}_n-\sum _{i\le n}{c}_i{S}_{i-1}\\ & =a_n{S}_n-\sum _{i\le n-1}{c}_{i+1}{S}_i\end{array}$其中我们能看到$c_{i+1}$是$a_{i+1}-a_i$也就是差分，$S_i$是$b_i$的前n项和，因此这本质上就是分部求和法。

如果我们把这个过程抽象一下，就得到如下的推导:

所以本质上来说，我们把对$S_{M,N}$的估计变成了对$T_{M,N}:={\sum }_{n=M+1}^{N-1}{B}_n(a_n-a_{n+1})$的估计。此时，依照先前的假设，$B_N$的估计我们事先知道，差分$a_n-a_{n+1}$也是比较简单的，因此得到$T_{M,N}$的一个估计并不困难。

2. 一些应用

2.1 Dirichlet定理及其推广

首先是一个特例：Leibniz收敛判断。其基本想法是来自于上面的方法。Leibniz的想法无非是对于$S_N:={\sum }_{n\le N}(-1{)}^n{a}_n$的和我们要得到至少为$o(1)$的精度的估计。我们知道$(-1{)}^n$的部分和$B_N$，这个和是比较简单的，无非就是在$-1,0$之间不断变化，是一个有界的序列。其次，虽然$a_n$是抽象的，但是Leibniz假设其具有单调性，从而$T_N:={\sum }_{n=1}^{N-1}{B}_n(a_n-a_{n+1})$是一个绝对收敛的级数的部分和。因此真正左右$S_N$整个估计的精度是否能达到$o(1)$的部分只有$a_N{B}_N$这一项，那么由于$B_N$的有界性，我们只需要保证$a_n=o(1)$即可。

参照这一想法，Abel,Dirichlet也对$a_n,b_n$提出了条件得到了级数收敛，含参数级数的一致收敛的Abel-Dirichlet判别法。然而我们一旦发现了本质以后，我们在使用这些结果的时候就不会局限于那些假设条件，而是可以更为灵活自由地使用。下面是两个调整：

• 对Dirichlet判别的一个调整：典型的通过分部求和法来开发的收敛判别法，其中文章里面对Dirichlet判别做了一个调整，以适应有时候单调性可能不存在，本质上也是利用了分部求和的想法。
• 分部求和的想法，Dirichlet-Abel收敛判别法的推广：当中同样利用分部求和的思想对经典的Dirichlet-Abel收敛判别做了推广，其中去掉了对${\sum }_n{a}_n{b}_n$其中$b_n$序列的部分和有界，或者$b_n$对应的级数收敛的要求，而是扩展为做对$b_n$的部分和做估计。至于说这个部分和什么时候是合适的，这个要视$a_n$的差分的估计而定。
• Euler-Maclaurin求和公式在和的估计当中的应用：这也是一个类似的问题，我们需要判断${\sum }_{n\ge }\frac{\sin (\sqrt{n})}{n}$是否收敛。那么我们只需要估计$S_N:={\sum }_{n\le N}\sin (\sqrt{n})$其积分并不算困难，但是不具备单调性，因此决定采用Euler-Maclaurin做更细致的估计。
• 已知序列模1均匀分布，那么加上log(n)对分布影响不大：当中我们已知${\sum }_{n\le N}e(k{x}_n)=o_k(N)$我们需要判断是否${\sum }_{n\le N}e(k{x}_n+k\log (n))=o_k(N)$基于Weyl判别。然后我们观察到$e(k{x}_n+k\log (n))=e(k{x}_n)e(k\log (n))$这样一个结构，于是我们考虑是否可以用分部求和做估计。我们还要保证差分的估计，这部分主要是基于$|e^{ix}-e^{iy}|\le |x-y|$最后我们得到$|e(k\log (n+1))-e(k\log (n))|<2k\pi \log (1+1/n)=O_k\left(\frac{1}{n}\right)$于是这便满足了我们对基于分部求和的估计的全部要求。

上面的基本想法

当$a_n$有着更强更好的性质的时候，我们同时就可以放松对$b_n$的部分和的要求。

一个技巧

此外我们要注意，$a_n$的简单不仅仅局限于其表达式的简单，如果其拥有单调性，那么我们比较容易知道其衰减到0的速度，即$a_n$的渐近表达，那么即便$a_n$的表达式复杂，也可以被算作是差分形式简单的。

比如下面这个例子：

• 一个交错的双重级数的级数的收敛性判别：这个问题中我们需要证明${\sum }_{n\ge 1}{\sum }_{k\ge 1}\frac{(-1{)}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }}{n^2+k^2}$的收敛性。这个双重级数的问题只要我们稍加转换，这就可以是一个可以基于分部求和的估计问题。我们可以把问题转换为$S_N:={\sum }_{n\le N}(-1{)}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{n^2+k^2}$那么由于$(-1{)}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }$的部分和对我们而言是一个熟悉的对象（参考[[分部求和的想法，Dirichlet-Abel收敛判别法的推广#例子3-sum_n-geq-1-frac-sinn-n发散|例子3：$su{m}_{ngeq1}fracsin(n)n$发散]]）。而${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{n^2+k^2}$之所以被认为是一个较为简单的对象，因为它从上方单调收敛到0，通过简单的积分估计，我们不难看出来${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{n^2+k^2}\asymp \frac{1}{n}$那么实际上我们等价于处理${\sum }_{n\le N}\frac{(-1{)}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }}{n}$的估计。因为假设我们设$A_N:={\sum }_{n\le N}(-1{)}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }$,${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{n^2+k^2}=b_n$那么最重要估计的无非是$b_N{A}_N+{\sum }_{n=1}^{N-1}{A}_n(b_n-b_{n+1})$

2.2 先放缩再做估计

想法2.2

有时候虽然${\sum }_n{a}_n{b}_n$并不适合做基于分部求和的估计，但是如果此时我们知道其中某个对象，例如$a_n$的一种估计，比如$a_n\le c_n$以及$b_n$非负，然后我们发现放缩以后的和${\sum }_n{c}_n{b}_n$是适合基于分部求和的估计，那么此时再考虑分部求和或许就能达到目的。

• 此节部分内容对应的视频内容：b站：先放缩然后做估计的技巧以及youtube:先放缩然后做估计的技巧。
• 已知序列的增长信息，以及算术平均值的信息，控制其p次幂的和：其中为了完成估计任务：$S_n:={\sum }_{k\le n}{x}_k^p=o(n^p)$已知信息$x_k=o(k)$暗示我们可以进行分段估计，但是单纯的分段估计只能得到$o(n^{p+1})$的估计，达不到目标精度。不过问题当中还包含序列部分和$A_n:={\sum }_{k\le n}{x}_k$,并且已知$A_n<C$的信息，那么我们完全可以把$S_n$视为$x_k{x}_k^{p-1}$的和，但是现在我们不能直接利用$A_n$的估计然后结合分部求和。因为我们无法处理差分$x_k^{p-1}-x_{k+1}^{p-1}$。但是如果我们先对$x_k$做放缩但又不是像一开始那样直接整个放缩$x_k^p$而是放缩$x_k^{p-1}$留一个$x_k$，那么我们会得到一个${\epsilon }^{p-1}{\sum }_{k\le n}{k}^{p-1}{x}_k:={\epsilon }^{p-1}{S}_2^{\prime }$的上界，此时再对$S_2^{\prime }$考虑基于分部求和的估计，就会得到$S_2^{\prime }=A_n{n}^{p-1}+{\sum }_k{A}_k(k^{p-1}-(k+1{)}^{p-1})$如此一来我们就可以顺利得到$S_2^{\prime }=O(n^p)$的估计，从而得到$S_n=o(n^p)$的估计。
• 1. 第一部分的证明: 我们需要证明在假设${\sum }_{n\ge 1}{p}_n$是发散，$p_n$非负单调不增，以及${\sum }_{n\ge 1}{\epsilon }_n{p}_n$收敛的条件下，令$E_n:={\sum }_{k\le n}{\epsilon }_k$的时候${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{E_n}{n}\ge 0$通过反证法，假设${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{E_n}{n}<a<0$，我们得到了$E_n$的一个上界估计$E_n<an$。此时为了利用这个信息，我们进行了第一次分部求和，得到$\begin{array}{r}\sum _{n=M}^N{\epsilon }_n{p}_n=O(1)+P_N{E}_N+\sum _{n=M+1}^{N-1}{E}_n(p_n-p_{n+1})\end{array}$得到这一步以后，我们看似不能继续处理，但带入$E_n$的估计以后我们得到${\sum }_{n=M}^N{\epsilon }_n{p}_n<O(1)+aN{p}_N+a{\sum }_{n=M+1}^{N-1}n(p_n-p_{n+1})$ $n(p_n-p_{n+1})$的结构很特殊，其对应的和可以重写为关于$p_n$的和。$N{p}_N+{\sum }_{n=M+1}^{N-1}n(p_n-p_{n+1})=(M+1)p_{M+1}+{\sum }_{n=M+2}^N{p}_n$从而得到${\sum }_{n=M}^N{\epsilon }_n{p}_n<C+a{\sum }_{n=M+2}^N{p}_n$因为$p_n$对应的级数发散，从而可以导出与条件${\sum }_n{\epsilon }_n{p}_n$收敛矛盾的结果。因此最初关于上极限的假设是不对的。
• ^5463af:其中“引理6”我们要估计$T_N:={\sum }_{n=1}^N{1}_S(n)a_n$的下界。我们在已知$C_N:={\sum }_{n=1}^N{1}_S(n)\ge \frac{\delta N}{2},\delta >0$对足够大的$N$成立的情况下，我们便打算利用$1_S(n)$的和的下界估计，从而通过分部求和，以及$C_N$的估计从而得到关于$T_N$的估计$T_N>O(1)+\frac{\delta }{2}N{a}_N+\frac{\delta }{2}{\sum }_{n=2}^{N-1}n(a_n-a_{n+1})$而后面的和展开可以消掉$N{a}_N$从而得到$T_N>O(1)+\frac{\delta }{2}{\sum }_{n=2}^N{a}_n$最后通过${\sum }_n{a}_n$的发散性得到$T_N\to +\infty$。

当然这个想法其实是普遍的，也算是分析学当中的一个基本思想：即通过抛弃一部分精度，从而换来问题的可操作性。更具体说，通过某种放缩可以把$A$问题转换为$B$问题。

比如估计$S(x):={\sum }_{p\le x}\frac{1}{p+\sin p}$通过逐项放缩，可以得到$\frac{1}{p+\sin p}\asymp \frac{1}{p}$从而我们可以转换问题为${\sum }_{p\le x}\frac{1}{p}$从而可以结合素数倒数和的估计当中的一些估计手段。

2.3 把和变成适合做分部求和估计

一种常见的情形：

想法2.3.1:将和的估计转换为适合分部求和的触发情形1

已知和${\sum }_n{b}_n$的信息，然后我们想要借此估计和${\sum }_n{a}_n$。一种常见的思路是，在不超过估计精度的情况下，如果我们可以得到${\sum }_n{a}_n\approx {\sum }_n{b}_n{c}_n$其中$c_n$形式比较简单。从而如果我们把估计目标从${\sum }_n{a}_n$转向${\sum }_n{b}_n{c}_n$那么这个和的估计会适合用分部求和来进行估计，因为：

1. ${\sum }_n{b}_n$的估计我们已知。
2. 由于$c_n$形式简单，从而默认$\Delta c_n$的信息也容易获得。 那么结合二者，通过分部求和，我们可以间接在估计精度内得到${\sum }_n{a}_n$的估计。

• Kronecker’s lemma: 我们已知${\sum }_{n\ge 1}\frac{f(n)}{n^s}$信息然后需要估计和${\sum }_{n\le x}f(n)$。自然就想到尝试把估计目标写成$A_N={\sum }_{n=1}^N\frac{f(n)}{n^s}\cdot n^s$然后再借助分部求和来使得已知条件生效。
• ^2ad901:估计目标是${\sum }_{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}$，而我们已知${\sum }_{n\ge 1}\frac{a_n}{n^{s_0}}$的估计信息，这里的关键突破口是发现这两个对象之间的关联性：${\sum }_{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}={\sum }_{n\ge 1}\left(\frac{a_n}{n^{s_0}}\right)n^{s_0-s}$我们发现就能立刻想到上述想法。在右边的和的估计问题中，$\frac{a_n}{n^{s_0}}$的和我们已知，$n^{s_0-s}$的差分的误差也很简单，从而选择用分部求和来估计目标。