基于分部积分法的积分的估计

基本想法

参照基于分部求和法的和的估计，在积分的估计中我们也可以有类似的思考方式，即当我们要估计形如$\int fg$的积分的时候，如果我们发现：

1. $f$的部分积分$F$的估计是已知的，或者相对容易的。
2. $g$的微分$g^{\prime }$是已知的，或者相对容易估计的。 那么通过分部积分$\int fg=A+\int F{g}^{\prime }$那么我们可以得到新的估计$\left|\int fg\right|\le |A|+\left|\int F{g}^{\prime }\right|$

有的时候，为了使得积分估计的精度更高从而使用分部积分法，目的是在每次分部积分的时候从积分当中抛出一部分函数，从而使得剩下的新的积分其估计精度更高。

• 函数在含参数的长度固定的区间上积分的估计:在这个问题当中我们本质上是估计$f(x)={\int }_{x^2}^{(x+1{)}^2}\frac{\sin (u)}{2\sqrt{u}}du$直接逐项估计的话精度是不够的，然后想到利用分部积分来提高精度，因为$\sin (u)$的原函数是熟悉的，并且估计起来简单，而$\frac{1}{\sqrt{u}}$的微分是简单的。最重要的是，$\frac{1}{\sqrt{u}}$的微分$-\frac{1}{4u^{3/2}}$的衰减速度更快，以至于我们能得到更精确的上界。
• 与Fresnel函数有关的积分的收敛性判断:所谓积分的收敛判别，其实也就是对部分积分的估计问题。本质上来说该问题我们要判断两件事$f(x):={\int }_1^x\frac{\sin (u)}{2\sqrt{u}}du$做渐近估计，要求精度$o(1)$。与上面类似的做法，通过分部积分我们得到$\begin{array}{rl}{\int }_1^x\frac{\sin (u)}{2\sqrt{u}}du& =\frac{1}{2}\cos (1)-\frac{1}{4}{\int }_1^x\frac{\cos (u)}{u^{3/2}}du\end{array}$后者的积分绝对收敛，于是便完成了估计。
• 2. 基于分部积分法的积分的估计:在这个问题当中，我们需要对$I_n:={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$进行精度为$o(1/n)$的估计。然后我们发现，如果我们进行分部积分，我们可以让余项的新的积分当中被积分函数的衰减速度不断变快。从而在被积分对象衰减速度变快以后，通过简单的逐项估计达到$O(1/n^2)$的精度。

1. 利用边界上消失的特性

想法1.1

根据一维的分部积分${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$如果被积函数当中$u,v$当中有一个在边界上消失，亦或是其他什么条件导致$[uv{]}_a^b=0$，那么我们就能得到关系${\int }_a^{b}udv=-{\int }_a^{b}vdu$

1. 有些情况下，后者往往能提供一些关于前者如何衰减的信息。估计后者往往比估计前者，更容达到目标估计精度。

• Wirtinger不等式:在这个问题当中一个关键的步骤是证明$\hat{f}(n)=O\left(\frac{\widehat{f^{\prime }}(n)}{n}\right)$而这一切成立的关键在于$f(0)=f(t)$，从而使得$\hat{f}(n)=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-\frac{2\pi }{T}int}dt$在进行分部积分的时候以下推导成立：$\begin{array}{rl}\hat{f}(n)& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-\frac{2\pi }{T}int}dt\\ & =\frac{1}{T}\left[f\left(0^{+}\right)-f\left(T^{-}\right)\right]\frac{T}{2\pi in}+\frac{T}{2\pi in}\cdot \frac{1}{T}{\int }_0^T{f}^{\prime }(t)e^{-\frac{2\pi }{T}int}dt\\ & =\frac{T}{2\pi in}{\hat{f}}^{\prime }(n)\end{array}$
• 分段连续可微函数在端点取值为0的开区间上积分的上界估计:在这个问题当中我们需要得到上界估计$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le M\frac{(b-a{)}^2}{4}$这里面考虑分部积分的一个关键动机是因为，函数$f$有一个边界条件$f(a)=f(b)=0$这导致在分部积分公式${\int }_a^{b}f(x)dx=[f(x)(x-c){]}_a^b-{\int }_a^b(x-c)f^{\prime }(x)dx,\forall c\in \mathbb{R}$当中$[f(x)(x-c){]}_a^b=0$，从而实现用$f^{\prime }$来控制$f$的积分。
• Riemann-Lebesgue引理的一个特殊情况:在这个问题当中的一个关键步骤是得到$c_n:={\int }_0^{\pi }f(x)\cos (nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }{f}^{\prime }(x)\sin (nx)dx$这也是因为积分区间的特殊性。因为$\cos (nx)$的原函数$\frac{1}{n}\sin (nx)$在区间$[0,\pi ]$的端点上消失。当然2. 相关的一个命题当中更是利用了这样的特性。
• 这里的”想法1.1”在形如${\int }_a^b{e}^{i\lambda \varphi (x)}\psi (x)dx$的积分的估计中，分部积分也发挥着重要的作用。详细可以参考对一类形如函数乘上模长为1的含参数复指数的定积分的估计。